INFLUENCE OF THE PARAMETERS OF THE BOTTOM BOREHOLE ZONE ON THE OWN VIBRATIONS OF THE LIQUID IN THE PUMP COMPRESSOR TUBING

Full Text

Введение

В нефтяной промышленности важным аспектом добычи углеводородов является контроль за состоянием скважин и параметров призабойной зоны пласта, вследствие чего разрабатываются и применяются различные геофизические методы исследования скважин (электрические, радиоактивные, акустические, магнитные, термические и др.) для технической оценки скважин [1; 2]. Одним из таких возможных способов ГИС является метод акустической спектроскопии, который предполагает возбуждение колебаний жидкости в скважине [3; 4], и в дальнейшем по полученным волновым характеристикам можно определить протяженность столба жидкости, диаметр скважины, коллекторские характеристики пласта, примыкающего к скважине.

Построение теоретических основ и моделирование процесса гидроудара в скважинах проводятся как с целью определения характеристик скважины и призабойной зоны, так и с целью предотвращения технических аварий, возможных при сильных колебаниях жидкости [5–8]. В работе [5] построена модель гидравлического удара при запуске и остановке скважины с многофазной жидкостью, состоящей из газовой фазы, жидкости и капель жидкости, основанная на стандартной технической схеме добычи углеводородов на шельфе. Рассмотрена динамика амплитуды волны в зависимости от времени закрытия клапана, расстояния перемещения потока, сжимаемости жидкости, температуры. В статье [6] описана математическая модель гидроудара многофазного потока в скважине, проведен анализ влияния прекращения подачи газа, значения протяженности скважины на динамику давления в скважине. В работе [7] представлена математическая модель гидроудара в вертикальной скважине, проведено сравнение с экспериментальной работой [8].

Данная статья является продолжением работы [4]. В настоящей работе построена теоретическая модель собственных колебаний жидкости в скважине с усложненной геометрией задачи, приближенной к реальным условиям.

 

1. Постановка задачи и основные уравнения

   Рассмотрим колебания жидкости, возникающие при гидроударе в вертикальной скважине, сообщающейся с пластом. Схема скважины приведена на рис. 2.1. Предположим, что в начальный

    

   

   

   a

   l

   ac

    

    

   l

    

   h lp

    

   z

   Рис. 2.1. Схема скважины, сообщающейся с пластом Fig. 2.1. Scheme of a well communicating with the formation

   Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

   72Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

    

   момент времени течение жидкости в вертикальной скважине и горизонтальном пласте отсутствует. Ось z направим вертикально вниз, за начало координат примем верхнюю границу столба жидкости. Примем следующие допущения: на верхней границе течение столба жидкости ограничено неподвижным поршнем; протяженность открытого участка скважины намного меньше протяженности закрытого участка, следовательно, возмущение давления на этом участке однородно.

   Уравнения сохранения массы жидкости в скважине и уравнение импульсов запишем в линеаризованном приближении:

   ∂ρ ∂w

   

   

   + ρ0

   ∂t ∂t

   ∂w ∂P

   

   

   = 0, ρ0 +

   ∂t ∂z

   

   −

    

   = 2σ , 0 < z < l, (1.1)

   ac

   µ t

   ,

    

   1 ∂w µ P

   

   σ = √πν

   

   −∞ t − τ

   √

    

   ∂τ, ν =

   ∂t

   2

    

   , ρ =

   ρ0 C

   где ρ - плотность жидкости, w - скорость, P - давление, σ - касательное напряжение в жидкости на поверхности стенки скважины; µ, ν - динамическая и кинематическая вязкость; C - скорость звука в жидкости. Выражение для касательного напряжения в жидкости на поверхности стенки скважины взято из [9].

   Граничные условия запишем в следующем виде:

    

   z = 0 : w (t, 0) = 0; z = l : P (t, l) = Pl (t) , w (t, l) = wl (t) , (1.2)

   где Pl(t ), wl(t ) - неизвестные функции. Для определения данных функций необходимо использовать уравнение сохранения массы в призабойной зоне пласта:

    

   πa2lp

   ∂ρl

   = πa2ρ0wl − 2πalhρ0u, u = −

   kp ( ∂Pp \

    

   (1.3)

   

   ∂t c

   

   µ ∂r

   где ac - радиус насосно-компрессорной трубы (НКТ), a - радиус обсадной трубы скважины, l - протяженность скважины, lp - протяженность призабойной зоны пласта, lh - протяженность зоны перфорации, u - скорость фильтрации жидкости в окружающую среду через стенку открытого участка скважины, k p - проницаемость призабойной зоны пласта.

   Для описания утечки жидкости в пласт необходимо рассмотреть фильтрацию в пласте. Поэтому запишем уравнение для упругого режима фильтрации в пласте вокруг скважины с граничными условиями:

   ∂P 1 ∂

   = χ

   ∂t r ∂r

   ( ∂Pp \

   ∂r

    

   , χ =

   

   kpρ0C2 mpµ

    

   , l < z < l + lp, a < r < ∞, (1.4)

   r = a : P = Pl; r → ∞ : P = 0. (1.5)

   С учетом уравнения состояния жидкости (1.1), фильтрации (1.4) и граничных условий (1.5) уравнение (1.3) примет вид:

   

   wl

    

   2

    

   ∂P = ρ0C2 (( ac \

   

   

   + 2 lh kp ( ∂Pl \\

    

   . (1.6)

   ∂t a

   lp a lp µ ∂r

    

2. Аналитическое решение в виде стоячей волны

   Решение уравнений (1.1) будем искать в следующем виде:

    

   P = Ap (z) eiωt, w = Aw (z) eiωt, (2.1)

   где ω = Ω+ iδ – комплексная частота собственных колебаний, действительная часть Ω описывает период колебаний, а мнимая часть δ интенсивность затухания.

   Подставив (2.1) в систему уравнений (1.1), после некоторых преобразований получим

    

   dAp (z) iω

   dAw (z)

   ρ0iω (1 + 2/b) Aw (z) +

   

   

   2

    

   = 0, Ap (z) +

   dz ρ0C

   

   = 0, (2.2)

   dz

   

   c

    

   где b = /iωa2

   ν. Исключив Aw (z) из уравнений (2.2), получим

   d2Ap (z)

   

   dz2 + k

   2 dAp (z) = 0, (2.3)

   dz

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 73

    

   где k = (1 + 2/b) ω2 C2 – комплексное волновое число. Общее решение уравнения (2.3) ищем в виде

   Ap (z) = C1 sin (kz) + C2 cos (kz) . (2.4)

   Из граничных условий (1.2) и с учетом выражений (2.1), (2.4) при z = 0 имеем Aw (0) = 0, C1 = 0. Следовательно, для Ap (z) с учетом первого уравнения (2.2) для Aw (z) получим

   

   p 2 w

    

   A (z) = C cos (kz) , A (z) = C2k sin (kz) . (2.5)

   iωρ0 (1 + 2/b)

   Для параметров Pl и wl при z = l с учетом (2.1), (2.5) можем заменить

   C2k sin (kl)

   Pl = C2 cos (kl) eiωt, wl =

    

   

   iωρ0 (1 + 2/b)

   eiωt. (2.6)

   Для определения фильтрационного потока в пласте вокруг открытого участка нахождения градиента давления на стенке открытого участка скважины решение уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5) будем искать в виде:

    

    

   Подставив (2.7) в (1.4), получим

    

   r2A′′

   P = Ap (r) eiωt. (2.7)

    

   

   ′

   p (r) + rAp (r) − qrAp (r) = 0, q = ../iω/χ. (2.8)

   Решение уравнения (2.8) будет иметь вид

    

    

   ∞

   где K0 (x) = [0 e

    

   −xchξ

   

   A (r) = A (a) K0 (rq) , (2.9)

   p p K0 (aq)

   dξ - функция Макдональда нулевого порядка.

   Подставляя (2.7), (2.9) в (1.6) с учетом граничных условий (1.2), (1.5), выражений (2.6), выполнив

   некоторые преобразования, получим трансцендентное уравнение для определения частоты как

    

   2

   tg (kl) = ( a \

   ′

    

   l k ( 2 lh m K0 (aq)

   \

   1 . (2.10)

   

   

   ac p

   a lp q2 K0 (aq) −

    

3. Численные результаты

Решение для закона изменения давления в скважине согласно (2.1), (2.5) определено с точностью до произвольного постоянного множителя C 2, т. е. распределение давления нормировано относительно значения при z = 0 и вместо P будем использовать нормированное значение P /Ap (0) при C 2 =1:

 

P = cos (kz) eiωt. (3.1)

Численные результаты получены в предположении, что в скважине находится вода и при использовании следующих физических параметров: ρ = 1000 кг/м3, C = 1500 м/с, µ = 10−3 Па·с. Для скважины и пласта принято: ac = 0.04 м, a = 0.1 м, l = 1500 м, lh = 10 м, lp = 20 м,

На рис. 3.1 ,а, б и в приведена иллюстрация зависимостей собственной частоты Ω, коэффициента

затухания δ, а также декремента затухания, определяемого как ∆ = (2π/Ω) δ от проницаемости пласта k p при различных значениях протяженности призабойной зоны скважины lp. m = 0.1. Заметим, что при увеличении коэффициента проницаемости в диапазоне 10−15÷10−12 м2 частота собственных колебаний уменьшается приблизительно в два раза, соответственно увеличивается период колебаний. В отмеченном диапазоне значений коэффициента проницаемости с ростом протяженности призабойной зоны пласта

уменьшается частота колебаний, увеличиваются коэффициент и декремент затухания. Видно, что для всех представленных параметров в диапазоне высоких проницаемостей 10−12 м2> k p >10−9 м2 влияние длины открытого участка на значения частот, коэффициента и декремента затухания незначительно. На рис. 3.2, а, б и в представлены зависимости собственной частоты Ω, коэффициента затухания δ, а также декремента затухания ∆ от проницаемости пласта при различных значениях протяженности зоны перфорации скважины. С увеличением протяженности зоны перфорации уменьшается частота колебаний в диапазоне k p=10−14÷10−11 м2. Можно заметить, что зависимость коэффициента и декремента затухания от проницаемости имеет немонотонный характер.

На рис. 3.3 представлено влияние длины скважины на зависимости собственной частоты, коэффициента затухания, а также декремента затухания. С увеличением протяженности скважины

Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

74Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

 

снижаются значения частоты колебаний, что естественно, но снижаются при этом значения коэффициента затухания на всём рассматриваемом участке коэффициентов проницаемости.

 

 

 

Рис. 3.1. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности призабойной зоны скважины: 1 – lp = 20 м, 2 – 50 м, 3 – 100 м

Fig. 3.1. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the

formation permeability coefficient at different values of the length of the bottomhole zone wells: 1 – lp = 20 m, 2 - 50 m, 3 - 100 m

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 75

 

 

 

Рис. 3.2. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности зоны перфорации скважины: 1 – lh = 2 м, 2 – 5 м, 3 – 10 м

Fig. 3.2. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the

permeability coefficient of the formation at different values of the length of the perforation zone wells: 1 – lh = 2 m, 2 - 5 m, 3 - 10 m

 

На рис. 3.4, а, б и в показана динамика давления датчиков, которые находятся в точках скважины

0 м (а), 750 м (б) и 1500 м (в) для различных коэффициентов проницаемости. Видно, что в

Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

76Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

 

случае значений проницаемости 10−12, 10−10 м2 затухание колебаний происходит быстрее, и амплитуда колебаний уменьшается с увеличением глубины скважины. При значении проницаемости 10−14 м2 самая низкая амплитуда колебаний наблюдается в точке 750 м, в начале и в конце скважины наблюдается приблизительно равная амплитуда колебаний.

 

 

 

 

Рис. 3.3. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности скважины:

1 – l = 1200 м, 2 – 1500 м, 3 – 1800 м

Fig. 3.3. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the formation permeability coefficient for different values of the well length: 1 - l =1200 m, 2 - 1500 m, 3 - 1800 m

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 77

 

 

 

 

Рис. 3.4. Динамика давления в датчиках, расположенных в точках скважины 0 м (а), 750 м (б) и 1500 м (в). Сплошная, штриховая и точечная линии соответствуют значениям проницаемости kp = 10−14 м2, 10−12 м2, 10−10 м2

Fig. 3.4. Dynamics of pressure in sensors located at points of the well 0 m (a), 750 m (b) and 1500 m (c). Solid, dashed, and dotted lines correspond to permeability kp = 10−14 m2, 10−12 m2, 10−10 m2

 

Выводы

 

Проведен анализ влияния протяженности скважины и призабойной зоны пласта, размера зоны перфорации на зависимость частоты колебаний и коэффициента затухания от проницаемости. Данные зависимости показали немонотонный характер. Выявлено, что основное влияние протяженность призабойной зоны пласта на частоту и затухание собственных колебаний оказывает в случае низкопроницаемых пластов (10−15÷10−13 м2), при высоких проницаемостях (10−12÷10−10 м2) значение данных параметров почти одинаково, с увеличением значения длины зоны перфорации скважины снижается частота колебаний в пластах с проницаемостью 10−13÷10−11 м2. Установлено, что с ростом протяженности скважины частота колебаний уменьшается независимо от проницаемости пласта, коэффициент затухания снижается и декремент затухания увеличивается в области значений проницаемости 10−13÷10−12 м2.

About the authors

G. R. Rafikova

Mavlyutov Institute of Mechanics – Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: rafikova_guzal@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3305-8586

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, scientific secretary

71, Prospekt Oktyabrya, Ufa, 450054, Russian Federation

Z. Z. Mamaeva

Mavlyutov Institute of Mechanics – Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: zilia16@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7783-1211

postgraduate student

71, Prospekt Oktyabrya, Ufa, 450054, Russian Federation

References

Supplementary files