INFLUENCE OF THE PARAMETERS OF THE BOTTOM BOREHOLE ZONE ON THE OWN VIBRATIONS OF THE LIQUID IN THE PUMP COMPRESSOR TUBING

Cover Page


Cite item

Full Text

Abstract

The problem of natural oscillations of a liquid column in a tubing string, arising after a sudden opening or closing of a vertical well (water hammer), is considered. For this, a mathematical model has been built that describes the dynamics of the fluid column in the well and the filtration flow in the bottomhole zone, analytical solutions of the system of equations have been obtained. To determine the frequency, period, coefficient and decrement of damping of oscillations, a characteristic equation is found. The impact of such parameters as the length of the open section, the perforation zones of the well, the length of the tubing string, the permeability coefficient on the dynamic nature of natural pressure fluctuations has been analyzed.

Full Text

Введение

В нефтяной промышленности важным аспектом добычи углеводородов является контроль за состоянием скважин и параметров призабойной зоны пласта, вследствие чего разрабатываются и применяются различные геофизические методы исследования скважин (электрические, радиоактивные, акустические, магнитные, термические и др.) для технической оценки скважин [1; 2]. Одним из таких возможных способов ГИС является метод акустической спектроскопии, который предполагает возбуждение колебаний жидкости в скважине [3; 4], и в дальнейшем по полученным волновым характеристикам можно определить протяженность столба жидкости, диаметр скважины, коллекторские характеристики пласта, примыкающего к скважине.

Построение теоретических основ и моделирование процесса гидроудара в скважинах проводятся как с целью определения характеристик скважины и призабойной зоны, так и с целью предотвращения технических аварий, возможных при сильных колебаниях жидкости [5–8]. В работе [5] построена модель гидравлического удара при запуске и остановке скважины с многофазной жидкостью, состоящей из газовой фазы, жидкости и капель жидкости, основанная на стандартной технической схеме добычи углеводородов на шельфе. Рассмотрена динамика амплитуды волны в зависимости от времени закрытия клапана, расстояния перемещения потока, сжимаемости жидкости, температуры. В статье [6] описана математическая модель гидроудара многофазного потока в скважине, проведен анализ влияния прекращения подачи газа, значения протяженности скважины на динамику давления в скважине. В работе [7] представлена математическая модель гидроудара в вертикальной скважине, проведено сравнение с экспериментальной работой [8].

Данная статья является продолжением работы [4]. В настоящей работе построена теоретическая модель собственных колебаний жидкости в скважине с усложненной геометрией задачи, приближенной к реальным условиям.

 

  1. Постановка задачи и основные уравнения

    Рассмотрим колебания жидкости, возникающие при гидроударе в вертикальной скважине, сообщающейся с пластом. Схема скважины приведена на рис. 2.1. Предположим, что в начальный

     

    image

    image

    a

    l

    ac

     

     

    l

     

    h lp

     

    z

    Рис. 2.1. Схема скважины, сообщающейся с пластом Fig. 2.1. Scheme of a well communicating with the formation

    Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

    72Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

     

    момент времени течение жидкости в вертикальной скважине и горизонтальном пласте отсутствует. Ось z направим вертикально вниз, за начало координат примем верхнюю границу столба жидкости. Примем следующие допущения: на верхней границе течение столба жидкости ограничено неподвижным поршнем; протяженность открытого участка скважины намного меньше протяженности закрытого участка, следовательно, возмущение давления на этом участке однородно.

    Уравнения сохранения массы жидкости в скважине и уравнение импульсов запишем в линеаризованном приближении:

    ∂ρ ∂w

    image

    image

    + ρ0

    ∂t ∂t

    ∂w ∂P

    image

    image

    = 0, ρ0 +

    ∂t ∂z

    image

     

    = 2σ , 0 < z < l, (1.1)

    ac

    µ t

    ,

     

    1 ∂w µ P

    image

    σ = πν

    image

    −∞ t τ

     

    ∂τ, ν =

    ∂t

    2

     

    , ρ =

    ρ0 C

    где ρ - плотность жидкости, w - скорость, P - давление, σ - касательное напряжение в жидкости на поверхности стенки скважины; µ, ν - динамическая и кинематическая вязкость; C - скорость звука в жидкости. Выражение для касательного напряжения в жидкости на поверхности стенки скважины взято из [9].

    Граничные условия запишем в следующем виде:

     

    z = 0 : w (t, 0) = 0; z = l : P (t, l) = Pl (t) , w (t, l) = wl (t) , (1.2)

    где Pl(t ), wl(t ) - неизвестные функции. Для определения данных функций необходимо использовать уравнение сохранения массы в призабойной зоне пласта:

     

    πa2lp

    ∂ρl

    = πa2ρ0wl 2πalhρ0u, u =

    kp ( ∂Pp \

     

    (1.3)

    image

    ∂t c

    image image

    µ ∂r

    где ac - радиус насосно-компрессорной трубы (НКТ), a - радиус обсадной трубы скважины, l - протяженность скважины, lp - протяженность призабойной зоны пласта, lh - протяженность зоны перфорации, u - скорость фильтрации жидкости в окружающую среду через стенку открытого участка скважины, k p - проницаемость призабойной зоны пласта.

    Для описания утечки жидкости в пласт необходимо рассмотреть фильтрацию в пласте. Поэтому запишем уравнение для упругого режима фильтрации в пласте вокруг скважины с граничными условиями:

    ∂P 1

    = χ

    ∂t r ∂r

    ( ∂Pp \

    ∂r

     

    , χ =

    image

    kpρ0C2 mpµ

     

    , l < z < l + lp, a < r < , (1.4)

    r = a : P = Pl; r → ∞ : P = 0. (1.5)

    С учетом уравнения состояния жидкости (1.1), фильтрации (1.4) и граничных условий (1.5) уравнение (1.3) примет вид:

    image

    wl

     

    2

     

    ∂P = ρ0C2 (( ac \

    image

    image

    + 2 lh kp ( ∂Pl \\

     

    . (1.6)

    ∂t a

    lp a lp µ ∂r

     

  2. Аналитическое решение в виде стоячей волны

    Решение уравнений (1.1) будем искать в следующем виде:

     

    P = Ap (z) eiωt, w = Aw (z) eiωt, (2.1)

    где ω = Ω+ – комплексная частота собственных колебаний, действительная часть описывает период колебаний, а мнимая часть δ интенсивность затухания.

    Подставив (2.1) в систему уравнений (1.1), после некоторых преобразований получим

     

    dAp (z)

    dAw (z)

    ρ0(1 + 2/b) Aw (z) +

    image

    image

    2

     

    = 0, Ap (z) +

    dz ρ0C

    image

    = 0, (2.2)

    dz

    image

    c

     

    где b = /iωa2

    ν. Исключив Aw (z) из уравнений (2.2), получим

    d2Ap (z)

    image

    dz2 + k

    2 dAp (z) = 0, (2.3)

    dz

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 73

     

    где k = (1 + 2/b) ω2 C2 – комплексное волновое число. Общее решение уравнения (2.3) ищем в виде

    Ap (z) = C1 sin (kz) + C2 cos (kz) . (2.4)

    Из граничных условий (1.2) и с учетом выражений (2.1), (2.4) при z = 0 имеем Aw (0) = 0, C1 = 0. Следовательно, для Ap (z) с учетом первого уравнения (2.2) для Aw (z) получим

    image

    p 2 w

     

    A (z) = C cos (kz) , A (z) = C2k sin (kz) . (2.5)

    iωρ0 (1 + 2/b)

    Для параметров Pl и wl при z = l с учетом (2.1), (2.5) можем заменить

    C2k sin (kl)

    Pl = C2 cos (kl) eiωt, wl =

     

    image

    iωρ0 (1 + 2/b)

    eiωt. (2.6)

    Для определения фильтрационного потока в пласте вокруг открытого участка нахождения градиента давления на стенке открытого участка скважины решение уравнения (1.4) с граничными условиями (1.5) будем искать в виде:

     

     

    Подставив (2.7) в (1.4), получим

     

    r2A′′

    P = Ap (r) eiωt. (2.7)

     

    image

    p (r) + rAp (r) qrAp (r) = 0, q = ..//χ. (2.8)

    Решение уравнения (2.8) будет иметь вид

     

     

    где K0 (x) = [0 e

     

    xchξ

    image

    A (r) = A (a) K0 (rq) , (2.9)

    p p K0 (aq)

    - функция Макдональда нулевого порядка.

    Подставляя (2.7), (2.9) в (1.6) с учетом граничных условий (1.2), (1.5), выражений (2.6), выполнив

    некоторые преобразования, получим трансцендентное уравнение для определения частоты как

     

    2

    tg (kl) = ( a \

     

    l k ( 2 lh m K0 (aq)

    \

    1 . (2.10)

    image

    image

    ac p

    a lp q2 K0 (aq)

     

  3. Численные результаты

Решение для закона изменения давления в скважине согласно (2.1), (2.5) определено с точностью до произвольного постоянного множителя C 2, т. е. распределение давления нормировано относительно значения при z = 0 и вместо P будем использовать нормированное значение P /Ap (0) при C 2 =1:

 

P = cos (kz) eiωt. (3.1)

Численные результаты получены в предположении, что в скважине находится вода и при использовании следующих физических параметров: ρ = 1000 кг/м3, C = 1500 м/с, µ = 103 Па·с. Для скважины и пласта принято: ac = 0.04 м, a = 0.1 м, l = 1500 м, lh = 10 м, lp = 20 м,

На рис. 3.1 ,а, б и в приведена иллюстрация зависимостей собственной частоты , коэффициента

затухания δ, а также декремента затухания, определяемого как ∆ = (2π/Ω) δ от проницаемости пласта k p при различных значениях протяженности призабойной зоны скважины lp. m = 0.1. Заметим, что при увеличении коэффициента проницаемости в диапазоне 1015÷1012 м2 частота собственных колебаний уменьшается приблизительно в два раза, соответственно увеличивается период колебаний. В отмеченном диапазоне значений коэффициента проницаемости с ростом протяженности призабойной зоны пласта

уменьшается частота колебаний, увеличиваются коэффициент и декремент затухания. Видно, что для всех представленных параметров в диапазоне высоких проницаемостей 1012 м2> k p >109 м2 влияние длины открытого участка на значения частот, коэффициента и декремента затухания незначительно. На рис. 3.2, а, б и в представлены зависимости собственной частоты , коэффициента затухания δ, а также декремента затухания от проницаемости пласта при различных значениях протяженности зоны перфорации скважины. С увеличением протяженности зоны перфорации уменьшается частота колебаний в диапазоне k p=1014÷1011 м2. Можно заметить, что зависимость коэффициента и декремента затухания от проницаемости имеет немонотонный характер.

На рис. 3.3 представлено влияние длины скважины на зависимости собственной частоты, коэффициента затухания, а также декремента затухания. С увеличением протяженности скважины

Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

74Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

 

снижаются значения частоты колебаний, что естественно, но снижаются при этом значения коэффициента затухания на всём рассматриваемом участке коэффициентов проницаемости.

 

image image

 

image image

 

image image

Рис. 3.1. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности призабойной зоны скважины: 1 – lp = 20 м, 2 – 50 м, 3 – 100 м

Fig. 3.1. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the

formation permeability coefficient at different values of the length of the bottomhole zone wells: 1 – lp = 20 m, 2 - 50 m, 3 - 100 m

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

image

image

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 75

 

image image

 

image

 

Рис. 3.2. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности зоны перфорации скважины: 1 – lh = 2 м, 2 – 5 м, 3 – 10 м

Fig. 3.2. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the

permeability coefficient of the formation at different values of the length of the perforation zone wells: 1 – lh = 2 m, 2 - 5 m, 3 - 10 m

 

На рис. 3.4, а, б и в показана динамика давления датчиков, которые находятся в точках скважины

0 м (а), 750 м (б) и 1500 м (в) для различных коэффициентов проницаемости. Видно, что в

Рафикова Г.Р., Мамаева З.З. Влияние параметров призабойной зоны скважины на собственные колебания столба...

76Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Influence of the parameters of bottom borehole zone on the own vibrations...

 

случае значений проницаемости 1012, 1010 м2 затухание колебаний происходит быстрее, и амплитуда колебаний уменьшается с увеличением глубины скважины. При значении проницаемости 1014 м2 самая низкая амплитуда колебаний наблюдается в точке 750 м, в начале и в конце скважины наблюдается приблизительно равная амплитуда колебаний.

 

image image

 

image image

 

image image

 

image

Рис. 3.3. Зависимость собственной частоты (а), коэффициента затухания (б), декремента затухания (в) от коэффициента проницаемости пласта при различных значениях протяженности скважины:

1 – l = 1200 м, 2 – 1500 м, 3 – 1800 м

Fig. 3.3. Dependence of natural frequency (a), damping coefficient (b), damping factor (c) on the formation permeability coefficient for different values of the well length: 1 - l =1200 m, 2 - 1500 m, 3 - 1800 m

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 70–79

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 70–79 77

 

image image image

 

image

 

image

 

image

image

image

Рис. 3.4. Динамика давления в датчиках, расположенных в точках скважины 0 м (а), 750 м (б) и 1500 м (в). Сплошная, штриховая и точечная линии соответствуют значениям проницаемости kp = 1014 м2, 1012 м2, 1010 м2

Fig. 3.4. Dynamics of pressure in sensors located at points of the well 0 m (a), 750 m (b) and 1500 m (c). Solid, dashed, and dotted lines correspond to permeability kp = 1014 m2, 1012 m2, 1010 m2

 

Выводы

 

Проведен анализ влияния протяженности скважины и призабойной зоны пласта, размера зоны перфорации на зависимость частоты колебаний и коэффициента затухания от проницаемости. Данные зависимости показали немонотонный характер. Выявлено, что основное влияние протяженность призабойной зоны пласта на частоту и затухание собственных колебаний оказывает в случае низкопроницаемых пластов (1015÷1013 м2), при высоких проницаемостях (1012÷1010 м2) значение данных параметров почти одинаково, с увеличением значения длины зоны перфорации скважины снижается частота колебаний в пластах с проницаемостью 1013÷1011 м2. Установлено, что с ростом протяженности скважины частота колебаний уменьшается независимо от проницаемости пласта, коэффициент затухания снижается и декремент затухания увеличивается в области значений проницаемости 1013÷1012 м2.

×

About the authors

G. R. Rafikova

Mavlyutov Institute of Mechanics – Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: rafikova_guzal@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3305-8586

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, scientific secretary

71, Prospekt Oktyabrya, Ufa, 450054, Russian Federation

Z. Z. Mamaeva

Mavlyutov Institute of Mechanics – Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: zilia16@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7783-1211

postgraduate student

71, Prospekt Oktyabrya, Ufa, 450054, Russian Federation

References

  1. Gorbachev Yu.I. Well logging. Moscow: Nedra, 1990, 398 p. Available at: https://www.geokniga.org/books/2795. (In Russ.)
  2. Koskov V.N. Geophysical survey of wells: textbook. Perm, 2004, 122 p. Available at: https://pstu.ru/files/file/gnf/gis.pdf. (In Russ.)
  3. Trubetskoy K.N., Kaplunov D.R. (Eds.) Mining: Terminological dictionary. 5th edition, revised and enlarged. Moscow: Gornaya kniga, 2016, 635 p. Available at: https://www.geokniga.org/books/19823. (In Russ.)
  4. Shagapov V.Sh., Bashmakov R.A., Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z. Damped natural vibrations of fluid in a well interfaced with a reservoir. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2020, vol. 61, no. 4 (362), pp. 5–14. DOI: http://doi.org/10.15372/PMTF20200401. (In Russ.)
  5. Guoqing H., Kegang L., Siew H.K., Zhang Z.He, Ram K.T. Simulation of Multiphase Fluid-Hammer Effects During Well Startup and Shut-in. Oil and Gas Facilities, 2013, vol. 2, issue 06, pp. 68–77. DOI: http://dx.doi.org/10.2118/160049-PA.
  6. Yu S., Wei J., Shuanggui L., Yingjie Yu C. Wellbore annulus water hammer pressure prediction based on transient multi-phase flow characteristics. Oil & Gas Science and Technology, 2019, vol. 74, article number 84. DOI: http://dx.doi.org/10.2516/ogst/2019058.
  7. Lyapidevsky V.Yu., Neverov V.V., Krivtsov A.M. Mathematical model of water hammer in a vertical well. Siberic Electronic Mathematical Reports, 2018, vol. 15, pp. 1687–1696. DOI: http://doi.org/10.33048/semi.2018.15.140. (In Russ.)
  8. Wang X., Hovem K., Moos D., Quan Y. Water Hammer Effects on Water Injection Well Performance and Longevity. SPE International Symposium and Exhibition on Formation Damage Control, 2008, SPE 112282-MS. DOI: http://doi.org/10.2118/112282-MS.
  9. Landau L.D., Lifshits E.M. Hydrodynamics. Moscow: Nauka, 1986, 736 p. Available at: http://www.immsp.kiev.ua/postgraduate/Biblioteka_trudy/GidrodinamikaLanday1986.pdf. (In Russ.)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2021 Rafikova G.R., Mamaeva Z.Z.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies