CRITICAL TRAVELLING WAVES IN ONE MODEL OF THE ”REACTION-DIFFUSION” TYPE

Full Text

1. Введение

   В статье обсуждается, как геометрическая теория сингулярных возмущений и метод инвариантных многообразий [1–10] могут быть использованы для понижения размерности задач о бегущих волнах с сингулярными возмущениями. Такой подход позволяет исследовать критические бегущие волны [11–15]. Специфика таких бегущих волн состоит в том, что они разделяют волны с качественно различным поведением. В качестве иллюстрации рассматривается класс систем типа ”реакция–диффузия”.

   Рассмотрим систему типа ”реакция–диффузия” с одной пространственной переменной. В безразмер- ном виде модель описывается следующими уравнениями:

   ∂x ∂2x

   

   

   ∂t = ε ∂s2

    

   + f (x, y),

    

   (1)

    

   где

   ∂y ε ∂2y

   

   

   ∂t = k ∂s2

   + g(x, y),

   f (x, y) =

   

   α(ν0 + xγ ) 1 + xγ

   − x(1 + y),

   g(x, y) = x(β + y) − δy,

   x и y – безразмерные концентрации реагентов, β > 1 и γ > 1 [16].

    

   1. Понижение размерности

      Если для системы (1) решение типа бегущей волны существует, то оно может быть записано в форме

       

      x(s, t) = φ(s − ct) = φ(ξ),

       

      где c – скорость волны.

      y(s, t) = ψ(s − ct) = ψ(ξ),

      (2)

      Из соотношений (1) и (2) получаем

       

      dφ

       

      d2φ

       

      α(ν0 + φγ )

      

      −c dξ = ε dξ2 +

      

      1 + φγ − φ(1 + ψ),

      dψ

      

      −c dξ =

      o d2ψ

      

      k dξ2 + φ(β + ψ) − kδψ.

      Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L., Wang J. Критические бегущие волны в одной модели ...

      18Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L., Wang J. Critical travelling waves in one model ...

       

      Последнюю систему уравнений удобно переписать в форме

      dφ

      

      = p,

      dξ

      dψ

      

      = q,

      dξ

      dp

      odξ = −cp −

      dq

       

      

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

       

      (3)

      

      εdξ = −ckq − kφ(β + ψ) + kδψ.

      Соответствующая вырожденная система (ε = 0) имеет вид

      dφ

      

      = p,

      dξ

      dψ

      

      = q,

      dξ

       

      α(ν0 + φγ )

       

      (4)

      0 = −cp −

      

      1 + φγ + φ(1 + ψ) := h1,

      0 = −ckq − kφ(β + ψ) + kδψ := h2.

      Последние два уравнения системы (4) имеют единственное решение

      α(ν0 + φγ ) 1

      

      p = P0(φ, ψ) = − c(1 + φγ ) + c φ(1 + ψ),

       

      (5)

      1 δ

      

      

      q = Q0(φ, ψ) = − c φ(β + ψ) + c ψ,

      которое определяет медленную поверхность системы (3). Медленная поверхность является устойчивой или притягивающей [10], так как

       

      где

      trB(φ, ψ) < 0, detB(φ, ψ) > 0,

      

      B = 

      

      ∂h1

      ∂p

      ∂h2

      ∂p

      ∂h1

      ∂q

      ∂h2

      ∂q

      

      

       

      = ( −c 0 ) .

       0 −ck

      В соответствии с геометрической теорией сингулярных возмущений в ε-окрестности медленной поверх- ности существует устойчивое (притягивающее) инвариантное многообразие, которое можно представить в форме

      p = P (φ, ψ, ε) = P0(φ, ψ) + εP1(φ, ψ) + O(ε2),

      q = Q(φ, ψ, ε) = Q0(φ, ψ) + εQ1(φ, ψ) + O(ε2).

      (6)

      Первые приближения функций P и Q, которые описывают медленное инвариантное многообразие, можно найти путем подстановки (6) в уравнения инвариантности

      ( ∂P

      o P +

      ∂φ

      ( ∂Q

      ∂P )

      Q

      ∂ψ

      ∂Q )

      = −cP −

      

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

      

      

      o P + Q

      ∂φ ∂ψ

      = −ckQ − kφ(β + ψ) + kδψ,

      которые следуют из (3). Таким образом, с учетом (6) имеем

      ( ∂P0

      ε

      ∂φ

       

      P0 +

      ∂P0 )

      Q0

      ∂ψ

      + O(ε2) = −c (P0 + εP1 + O(ε2)) −

      

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

      ( ∂Q0

      ε

      ∂φ

       

      P0 +

      ∂Q0 )

      Q0

      ∂ψ

      + O(ε2) = −ck (Q0 + εQ1 + O(ε2)) − kφ(β + ψ) + kδψ.

      Приравнивая коэффициенты при первой степени ε в этих уравнениях, с учетом (5) получаем

      1 [( αγφγ−1(1 − ν0)

      ) ( α(ν0 + φγ ) ) 2 ]

      

      P1(φ, ψ) = − c2

      1

      

      (1 + φγ )2 − 1 − ψ

      [ ( α(ν0 + φγ )

      1 + φγ − φ(1 + ψ)

      )

      — φ (β + ψ) + δφψ ,

      ]

      Q1(φ, ψ) = − c2k

      (β + ψ)

      

      1 + φγ − φ(1 + ψ)

      + (φ − δ)(φ(β + ψ) − δφ) .

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 16–24

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 16–24 19

       

      Таким образом, медленные движения системы (3) описываются уравнениями

      dφ

      dξ = −

      

      α(ν0 + φγ ) c(1 + φγ ) +

      1

      c φ(1 + ψ)−

      ε [( αγφγ−1(1 − ν0)

      ) ( α(ν0 + φγ ) ) 2 ] 2

      

      − c2

      dψ 1

      

      (1 + φγ )2 − 1 − ψ

      δ

      1 + φγ − φ(1 + ψ)

      — φ (β + ψ) + δφψ

      + O(ε ),

      (7)

      

      

      dξ = − c

      φ(β + ψ) +

      

      c ψ−

      ε

      − c2k

      [

      (β + ψ)

      ( α(ν0 + φγ ) )

      

      1 + φγ − φ(1 + ψ)

      ]

      + (φ − δ)(φ(β + ψ) − δφ)

      + O(ε2).

      Основные преимущества системы (7) по отношению к (3) заключаются в том, что она не имеет сингулярных возмущений и ее порядок ниже.

       

   2. Критические бегущие волны

   Заметим, что особые точки рассматриваемой системы определяются уравнениями f (x, y) =

   = 0, g(x, y) = 0.

   Рассмотрим (3) при следующих значениях параметров: α = 12, β = 1.5, γ = 3, δ = 1.7 и ν0 =

   = 0.01. Система (4) имеет три положения равновесия: неустойчивый узел P1, седло P2, и неустойчивый

   фокус P3 (рис. 1). Эти положения равновесия являются проекциями положений равновесия

   P˜3 системы (3) на плоскость (φ, ψ).

   P˜1,

   P˜2, и

   Добавляя к (4) соответствующие асимптотические граничные условия, мы можем получить траекто- рию, соединяющую положение равновесия P1 и ω-периодическую орбиту, которая возникает в результате бифуркации Андронова около P3 (рис. 2 и 3). Более того, система (3) имеет решение, стремящееся к

   неустойчивому положению равновесия P˜1 при ξ → −∞ и к устойчивому ω(ε)-периодическому решению

   при ξ → +∞, где ω(ε) → ω при ε → 0. Это решение определяет профиль точечно-периодических бегущих волн типа ”точка-цикл” системы (1). Доказательства существования ω-периодической орбиты вблизи точ- ки P3, а также периодической бегущей волны типа ”точка-цикл” проводятся аналогично тому, как это делается в работах [17–26].

    

   

   

   g = 0

    

    

   P3

    

   ψ ψ

   f = 0

    

   P1

   P2

   

   

   ϕ ϕ

    

   Рис. 1. Нуль-кривые и положения равновесия системы (4)

   Fig. 1. Zero curves and positions of the equilibrium of systems (4)

   Рис. 2. Траектория, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4)

   Fig. 2. Trajectory connecting the equilibrium position and the cycle of the system (4)

    

   Следует отметить, что траектория, показанная на рис. 2, является траекторией-уткой [27–30]. Такие траектории используются для моделирования критических явлений [10; 12; 31; 32]. Они играют роль промежуточных форм между траекториями, соответствующими колебаниям с пренебрежимо малыми

   Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L., Wang J. Критические бегущие волны в одной модели ...

   20Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L., Wang J. Critical travelling waves in one model ...

    

   

   

   ψ

   ϕ, ψ

    

    

   ξ

   Рис. 3. Графики функций φ = φ(ξ) (сплош- ная линия) и ψ = ψ(ξ) (пунктирная ли- ния) для траектории, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4)

   Fig. 3. Graphs of functions φ = φ(ξ) (solid line) and ψ = ψ(ξ) (dashed line) for the trajectory connecting the equilibrium position and cycle of the system (4)

    

   

   ϕ

    

   Рис. 4. Траектория, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4) (пунк- тирная линия), (7) (штрих-пунктирная ли- ния), (φ, ψ)–проекция соответствующей тра- ектории (3) (сплошная линия)

   Fig. 4. Trajectory connecting the positions of the equilibrium and the cycle of system

2. (point dashed line), (7) (dash-dot line (φ, ψ) is the projection of the corresponding trajectory (3) (solid line)

 

амплитудами, и траекториями с релаксационными колебаниями. Бегущие волны с профилем траекто- рий-уток являются критическими, так как разделяют бегущие волны с качественно различным поведе- нием.

На рис. 4 показаны траектории, идущие от точки к циклу системы (4) (пунктирная линия) и (7) (штрих-пунктирная линия), а также (φ, ψ)-проекция соответствующей траектории системы (3) (сплош- ная линия). Все эти траектории очень близки друг к другу, а это значит, что приведенные системы сохраняют существенные свойства качественного поведения исходной системы.

Отметим, что в этом случае при понижении размерности модели можно ограничиться нулевым при- ближением инвариантного многообразия, заменив исследование системы (3) анализом системы (4). Одна- ко во многих случаях, чтобы адекватно отразить поведение исходных моделей, необходимо использовать приближение первого или более высоких порядков для инвариантного многообразия [33].

Выводы

В статье обсуждается применение геометрической теории сингулярных возмущений и техники тра- екторий-уток для исследования задач о критических с бегущих волнах. На примере системы типа ”ре- акция–диффузия” мы показываем, как задача о бегущих волнах для исходной системы нелинейных параболических уравнений сводится к изучению проекции этой системы на ее медленное инвариантное многообразие. Анализ редуцированной системы позволил найти критические бегущие волны исходной системы. Такие волны играют роль промежуточных форм между волнами с принципиально различным качественным поведением.

 

About the authors

V. A. Sobolev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: v.sobolev@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-7327-7340

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Tropkina

Samara National Research University

Email: elena_a.85@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5970-6740

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Shchepakina

Samara National Research University

Email: shchepakina@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0002-2898-2865

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department
of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

Lijun Zhang

Shandong University of Science and Technology

Email: li-jun0608@163.com
ORCID iD: 0000-0001-5697-4611
Taiwan, Province of China, 579, Quinwangang Road, Huangdao District, Qingdao, Shandong Province, 266590, P.R. China.

Jundong Wang

Shandong University of Science and Technology

Email: jd_w@qq.com
ORCID iD: 0000-0002-7551-540X
Taiwan, Province of China, 579, Quinwangang Road, Huangdao District, Qingdao, Shandong Province, 266590, P.R. China.

References

Supplementary files