ABOUT SOLVABILITY OF ONE PROBLEM WITH NONLOCAL CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION


Cite item

Abstract

In this article we consider a nonlocal problem with integral condition of the second kind for hyperbolic equation. The choice of a method for investigating problems with nonlocal conditions of the second kind depends on the type of nonintegral terms. In this article we consider the case when the nonintegral term is a trace of required function on the boundary of the domain. To investigate the solvability of the problem we use method of reduction for loaded equation with homogeneous boundary conditions. This method proved to be effective for defining a generalized solution, to obtain apriori estimates and to prove existence of unique generalized solution of the given problem.

Full Text

Введение

Данная статья посвящена исследованию разрешимости задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения. Изучение задач с нелокальными условиями началось в прошлом столетии со статей, посвященных рассмотрению уравнений параболического типа [1; 2]. Лишь в конце XX века ученые начали изучение нелокальных задач для гиперболических уравнений [3; 4]. Интерес к задачам с интегральными условиями обусловлен тем, что нелокальные условия возникают при исследовании различных физических процессов, когда невозможно произвести измерения непосредственно на границе области.

Специфика исследования задач с нелокальными условиями состоит в том, что методы, которые применимы к классическим задачам, оказываются неэффективными или порождают дополнительные трудности в процессе обоснования разрешимости нелокальной задачи. На данный момент разработаны некоторые методы, позволяющие исследовать нелокальные задачи [5–9].

В данной статье приводится результат исследования разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения. Существует несколько методов исследования подобных задач: вспомогательных задач, компактности и сведения к нагруженному уравнению [10–12]. В представленной работе использована идея, приведенная в статье [10], однако

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 37

 

метод доказательства разрешимости задачи кардинально отличается от примененного в упомянутой выше статье и продиктован одномерностью уравнения.

 

1. Постановка задачи

Рассмотрим гиперболическое уравнение в области QT = (0, l) × (0, T )

utt (a(x, t)ux)x + c(x, t)u = f (x, t). (1)

Задача 1. Найти в области QT решение уравнения (1) , удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 (2)

и нелокальным условиям

l

u(0, t) +

0

 

l

K1(x)u(x, t)dx = 0, u(l, t) +

0

 

K2(x)u(x, t)dx = 0. (3)

2

 

Условия (3) являются интегральными условиями 2 рода с внеитегральными слагаемыми, которые представляет собой следы функции на границе. Для исследования разрешимости данной задачи применим метод сведения к задаче для нагруженного уравнения с однородными граничными условиями. Воспользуемся приемом, изложенным в статье [10] при исследовании нелокальной задачи для многомерного гиперболического уравнения. Заметим, что будем использовать только способ введения новой неизвестной функции, а метод доказательства разрешимости мы предлагаем другой. Выбранный нами метод позволил доказать разрешимость поставленной задачи в пространстве W 1(QT ) и ослабить

некоторые требования на входные данные.

Введем новую неизвестную функцию следующим образом:

 

иначе

l

v(x, t) = u(x, t) +

0

l

x

image

K1udx + l [

0

l

K2udx

0

 

K1udx], (4)

l

v(x, t) = u(x, t) +

0

 

K1(ξ)(

l

l x )u(ξ, t)+

l

0

x

K2(ξ)udξ. (5)

l

image

l

 

Обозначим H(x, ξ) = 1 ((l x)K1(ξ) + xK2(ξ)).

Тогда (5) примет вид

 

Выразим u(x, t) из (6)

 

l

v(x, t) = u(x, t) +

0

 

l

u(x, t) = v(x, t)

0

 

H(x, ξ)u(ξ, t)dξ. (6)

 

H(x, ξ)u(ξ, t)dξ. (7)

Полагая, что u(x, t)решение задачи (1)–(3), подставим (7) в (1)

vtt (avx)x + cv

l

H(x, ξ)utt(ξ, t)+

0

l

l

(aHx(x, ξ))xu(ξ, t)

0

c H(x, ξ)u(ξ, t)= f (x, t).

0

В силу нашего предположения utt = (aux)x cu + f, поэтому

l l

∫ ∫

H(x, ξ)utt(ξ, t)=

0 0

H(x, ξ)[(auξ )ξ cu + f ]dξ.

Проинтегрируем одно из слагаемых по частям

l l

∫ ∫

H(x, ξ)(a(ξ, t)uξ (ξ, t))ξ=

0 0

(Hξa)ξudξ + Hξ (x, t)a(l, t)u(l, t)

Киричек В.А. О разрешимости одной задачи с нелокальными условиями для гиперболического уравнения

38Kirichek V.A. About solvability of one problem with nonlocal conditions for hyperbolic equation

 

 

Обозначив

Hξ (x, 0)a(0, t)u(0, t)

H(x, l)a(l, t)ux(l, t) + H(x, 0)a(0, t)ux(0, t).

P (x, ξ, t) = (Hξ (x, ξ)a(ξ, t))ξ + H(x, ξ)c(ξ, t) + (Hx(x, ξ)a(x, t))x H(x, ξ)c(ξ, t)

Hξ (x, 0)a(0, t)K1(ξ) + Hξ (x, l)a(l, t)K2(ξ),

l

где g(x, t) = f (x, t) + H(x, ξ)f (ξ, t)dξ,

0

получим уравнение относительно новой неизвестной функции

 

l

vtt (avx)x + cv +

0

 

P (x, ξ, t)u(ξ, t)+ H(x, l)a(l, t)ux(l, t) H(x, 0)a(0, t)ux(0, t) =

 

l

= f (x, t) +

 

H(x, ξ)f (ξ, t)dξ.

0

Из (5) видно, что функция v(x, t) удовлетворяет условиям

v(0, t) = 0, v(l, t) = 0, v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0. (8)

Если функции Ki(x) таковы, что Ki(0) = Ki(l) = 0, то мы приходим к следующей задаче.

Задача 2. Найти в области QT решение уравнения

l

vtt (avx)x + cv +

0

P (x, ξ, t)u(ξ, t)= g(x, t), (9)

 

l

где u и v связаны соотношением v(x, t) = u(x, t) + H(x, ξ)u(ξ, t)dξ, удовлетворяющее граничным

0

условиям

 

и начальным данным

 

v(0, t) = 0, v(l, t) = 0 (10)

 

v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0. (11)

Заметим, что новая неизвестная функция v(x, t) удовлетворяет обычным краевым условиям, но должна быть найдена как решение нагруженного уравнения.

 

2

 

Разрешимость задачи 2. Исследуем разрешимость задачи 2 в пространстве Соболева W 1(QT ). Введем определение обобщенного решения, следуя стандартной процедуре [13]. Выпишем тождество, на котором оно базируется

 

T l T l l

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(vtηt + avxηx + cvη)dxdt + η

0 0 0 0 0

l T l

 

P (x, ξ, t)u(ξ, t)dξdxdt =

∫ ∫

= ψ(ξ)η(ξ, 0)+

0 0

gηdxdt. (12)

0

2

 

Определение. Обобщенным решением задачи (8)–(10) будем называть пару функции u, v W 1(QT ),

v(x, 0) = 0 и выполняется интегральное тождество (12) для любой функции η Wˆ 1(QT ) такой,

если 2

l

что η(0, t) = η(l, t) = η(x, T ) = 0, и равенство v(x, t) = u(x, t) + H(x, ξ)u(ξ, t)dξ.

0

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

a, at, att, ax c, ct C(Q¯T ), a(x, t) > 0 (x, t) Q¯T , ||H||L2 < 1;

f, ft L2(QT ), H C2(Q¯T ).

Тогда существует единственное решение задачи 2.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 39

 

Доказательство

Будем искать приближенное решение из соотношений

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(vnηt + avnηx + cvnη)dxdt +

 

l T l

∫ ∫ ∫

η Pun1dξdxdt =

 

fηdxdt, (13)

t x

0 0 0 0 0 0 0

 

полагая, что v0 = 0, u0 = 0.

 

l

un +

0

 

Hun= vn, (14)

Покажем, что для любого n существуют функции un, vn, удовлетворяющие (12), (13).

Пусть n = 1, тогда (12) совпадает с тождеством, которое определяет обобщенное решение начально-краевой задачи

Utt (aUx)x + cU = f, (15)

U (0, t) = U (l, t) = 0, U (x, 0) = Ut(x, 0) = 0.

2

 

Эта задача однозначно разрешима в W 1, если c(x, t) C(Q¯T ), at(x, t) C(Q¯T ) [13] и справедлива

2

 

оценка ||v||W 1 ::: C||F ||L2 .

2

 

Если выполняются условия теоремы 1, то это решение принадлежит W 2(QT ) [13, с. 216.] Для таких

решений справедливо равенство

 

l τ l

∫ ∫ ∫

[U 2(x, τ ) + a(x, τ )U 2(x, τ )]dx =

 

τ l

∫ ∫

atU 2dxdt 2

 

τ l

∫ ∫

cUUtdxdt + 2

 

f Utdxdt, (16)

t x x

0 0 0 0 0 0 0

из которого можно получить неравенство

 

l τ

∫ ∫

[U 2(x, τ ) + U 2(x, τ ) + U 2(x, τ )]dx ::: C1

 

l

[U 2 + U 2 + U 2]dxdt+

t x x t

0 0 0

 

τ l

∫ ∫

+c(ε)

0 0

 

τ l

∫ ∫

t

 

U 2dxdt + ε

0 0

 

f 2dxdt.

После применения к этому неравенсту леммы Гронуолла получим

 

l τ l

∫ ∫ ∫

[U 2(x, τ ) + U 2(x, τ ) + U 2(x, τ )]dx ::: εeC2 τ

 

f 2dxdt, (17)

t x

0 0 0

где C2 = C1 + c(ε).

Вернемся к задаче 2. Найдем v1(x, t) как решение краевой задачи (14), тогда из (13) получим u1(x, t),

так как в силу условия ||H||L2 < 1 интегральное уравнение однозначно разрешимо.

Действительно, при n = 1 u0 = 0, и v1 можно считать решением первой начально-краевой задачи

для уравнения

v1 1 1

tt (avx)x + cv

= f (x, t),

2 (QT )

 

которое существует, единственно и удовлетворяет неравенству ||v1||W 1

::: C||||L2 (QT )

. Зная u1, будем

искать v2 из (12) при n = 2:

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(v2ηt + av2 ηx + cv2η)dxdt +

 

l T l

∫ ∫ ∫

η Pu1dξdxdt =

 

fηdxdt.

t x

0 0 0 0 0 0 0

Так как u1 известно, то v2 определяется как решение задачи (14) с новой правой частью уравнения:

l l

g Pu1dξ. Покажем, что g Pu1L2(QT ).

0 0

T l l T l

Действительно, f L2(QT ) по условию, а так как

( H(x, ξ)f (ξ, t))2dxdt ::: f 2(x, t)dxdt :::

0 0 0 0 0

l

::: const в силу свойств H(x, ξ) и f (ξ, t), то g = f + Hfdξ L2(QT ).

0

Киричек В.А. О разрешимости одной задачи с нелокальными условиями для гиперболического уравнения

40Kirichek V.A. About solvability of one problem with nonlocal conditions for hyperbolic equation

 

l

Рассмотрим P (x, ξ, t)u1(ξ, t)

0

T l l

∫ ∫ ∫

(

0 0 0

T l

∫ ∫

P (x, ξ, t)u1(ξ, t))2dxdt :::

0 0

l

P 2(x, ξ, t)

0

l

(u1(ξ, t))2dξdxdt

0

и в силу свойств P (x, ξ, t), вытекающих из условий теоремы, а также принадлежности u1(ξ, t)

l

пространству L2(QT ), P (x, ξ, t)u1(ξ, t)L2(QT ).

0

Значит, v2(x, t) является решением краевой задачи (14) с правой частью уравнения: g

l

2

 

P (x, ξ, t)u1(ξ, t)и v2 W 1(QT ).

0

Продолжим этот процесс, в итоге построим последовательность (vn, un).

Начнем вывод оценок. Обозначим

 

Из (12) получим

zn = vn vn1,

rn = un un1.

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(znηt + aznηx + cznη)dxdt =

l

η(x, t)

 

Prn1dξdxdt, (18)

 

где

t x

0 0 0 0 0

 

l

rn1 +

0

l

Hrn1dx = zn1. (19)

Пусть F = Pzn1dξ. Получим оценку для zn, использовав неравенство (16).

0

||z ||

 

n 2

W 1

 

2 (QT )

||L2

 

::: εM ||F 2 .

Оценим правую часть этого неравенства

τ l l

∫ ∫ ∫

2

 

||F ||L2 = (

0 0 0

l

 

Prn1

τ

)2dxdt ::: P1

0

l

(rn1)2dxdt,

0

где P1 = max P 2dξ. Тогда

0

 

||z ||

 

n 2

W 1

 

2 (Qτ )

 

L2 (Qτ )

 

::: εMP1||rn1||2

 

. (20)

l

Проведем оценку функции (rn)2. Функция rn удовлетворяет равенству rn = zn Hrndx. Применим

0

неравенство Коши

 

откуда при 1 2h0lT > 0 следует

 

(rn)2 ::: 2(zn)2 + 2h0

l

(rn)2dx,

0

||r ||

 

n 2

L2 (QT )

l

n 2

::: C1||z

 

,

 

||L2 (QT )

image

1

 

C = 2 12h0 lT

неравенства

. Продифференцируем rn = zn Hrndx по t и по x и аналогичным образом получим два

0

||rn||2

::: C2||zn||2

||

 

, ||rn 2

||

 

::: C3||zn 2 ,

t L2 (QT )

t L2 (QT )

x L2 (QT )

x L2 (QT )

где постоянные C2, C3 зависят только от l, h0, T. В результате получим

n 2

r

 

|| ||W 1

::: N ||r

n1 2

|| 1

. (21)

 

Из (19), (20) получим

2 (Qτ )

 

W2 (Qτ )

 

2

||zn||W 1

:::

εB||zn1|| 1

W 1

 

, ||rn|| 1

:::

εB||rn1|| .

2 (Qτ )

где мы обозначили B = NMP1.

W2 (Qτ )

W2 (Qτ )

2 (Qτ )

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 4. С. 36–43

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 4, pp. 36–43 41

 

image

n=1

 

Выберем ε1 так, чтобы εB < 1, тогда ряды

r и

 

n

n=1

zn сходятся.

n=1

 

z =

 

Рассмотрим частичные суммы рядов

n

n=1

n=1

 

(vn vn1),

r =

 

n

n=1

(un un1) S1 = v1

v0, так как v0 = 0, получаем S1 = v1, S2 = v1 + v2 v1 = v2. Аналогично S1 = u1 u0, так как u0 = 0, получаем S 1 = u1, S 2 = u1 + u2 u1 = u2. Продолжив этот процесс, получим Sn = vn и Sn = un,

значит, последовательности частичных сумм сходятся. Следовательно, построенная последовательность

(un, vn) также сходится. Перейдем к пределу при n → ∞

 

T l T l

∫ ∫ ∫ ∫

(vnηt + avnηx + cvnη)dxdt +

 

l l

∫ ∫

η Pun1dξdxdt =

 

ψ(ξ)η(ξ, 0)+

t x

0 0 0 0 0 0

 

T l

∫ ∫

+ gηdxdt,

0 0

l

un1 =

Hun1= vn1,

0

убеждаемся в том, что предел выделенной подпоследовательности действительно есть искомое обобщенное решение задачи 2. В силу единственности предела последовательности единственность решения очевидна.

 

Разрешимость задачи 1.

Теорема 2. Если выполняются условия

a, at, ax c, ct C(Q¯T ), a(x, t) > 0 (x, t) Q¯T ;

f, ft L2(QT ), Ki C2(Q¯T ), Ki(0) = Ki(l) = 0,

2

 

тогда существует единственное решение задачи 1. Если условия теоремы 2 будут выполнены, то и все условия теоремы 1 также выполняются. Тогда существует единственное решение задачи 2, принадлежащее пространству W 2(QT ). В силу граничных условий v(0, t) = v(l, t) = 0 выполняются интегральные условия (3), а также начальные условия (2). При подстановке (4) в (8) после некоторых преобразований убеждаемся, что u удовлетворяет (1).

×

About the authors

V. A. Kirichek

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: Vitalya29@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9817-863X

postgraduate student, Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

References

  1. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quart. Appl. Math., 1963, vol. 21, no. 2. pp. 155–160. DOI: http://doi.org/10.1090/qam/160437.
  2. Kamynin L.I. A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, vol. 4, Issue 6, pp. 33–59. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90080-1. (In Russ.)
  3. Pulkina L.S. A nonclassical problem for a degenerate hyperbolic equation. Soviet Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika, 1991, vol. 35, no. 11, pp. 48–51. Available at: http://mi.mathnet.ru/ivm5192. (In Russ.)
  4. Pulkina L.S. Certain nonlocal problem for a degenerate hyperbolic equation. Mathematical Notes, 1992, vol. 51, Issue 3, pp. 286–290. (In Russ.)
  5. Il’in V.A., Moiseev E.I. Uniqueness of the solution of a mixed problem for the wave equation with nonlocal boundary conditions. Differential Equations, 2000, vol. 36, no. 5, pp. 728–733. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02754231. (In Russ.)
  6. Pul’kina L.S. A Mixed Problem with Integral Condition for the Hyperbolic Equation. Mathematical Notes, 2003, vol. 74, no. 3, pp. 411—421. Available at: https://doi.org/10.1023/A:1026167021195. (English; Russian original)
  7. Pulkina L.S. Initial-boundary value problem with a nonlocal boundary condition for a multi-dimensional hyperbolic equation. Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 8, pp. 1119—1125. (In Russ.)
  8. Lazetic N.L. On the classical solvability of the mixed problem for a second-order one-dimensional hyperbolic equation. Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 8, pp. 1134-–1139. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266106080088 (English; Russian original)
  9. Pulkina L.S. Problems with nonclassical conditions for hyperbolic equations. Samara: Izdatel’stvo ”Samarskii universitet”, 2012, 194 p. (In Russ.)
  10. Kozhanov A.I., Pul’kina L.S. On the solvability of boundary value problems with a nonlocal boundary condition of integral form for multidimensional hyperbolic equations. Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 9, pp. 1233–1246. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266106090023 (English; Russian original)
  11. Pulkina L.S. Nonlocal problems for hyperbolic equations with degenerate integral condition. Electronic Journal of Differential Equations, 2016, vol. 2016, p. 193. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=27138175.
  12. Pulkina L.S., Kirichek V.A. Solvability of a nonlocal problem for a hyperbolic equation with degenerate integral conditions. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.- Mat.Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci., 2019, vol. 23, no. 2, pp. 229–245. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1707. (In Russ.)
  13. Ladyzhenskaya O.A. Boundary problems of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1973, 407 p. Available at: https://djvu.online/file/Rh97R3cVXNcZE. (In Russ.)

Copyright (c) 2021 Kirichek V.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies