ON THE SOLVABILITY OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH INVOLUTION


Cite item

Abstract

This article is devoted to the study of the solvability of some boundary value problems with involution.
In the space Rn, the map Sx=−x is introduced. Using this mapping, a nonlocal analogue of the Laplace operator is introduced, as well as a boundary operator with an inclined derivative. Boundary-value problems are studied that generalize the well-known problem with an inclined derivative. Theorems on the existence and uniqueness of the solution of the problems under study are proved. In the Helder class, the smoothness of the solution is also studied. Using well-known statements about solutions of a boundary value problem with an inclined derivative for the classical Poisson equation, exact orders of smoothness of a solution to the problem under study are found.

Full Text

Введение

Дифференциальные уравнения, в которых наряду с искомой функцией u(t) присутствуют значение u(S(t)), где S2(t) = t, называются уравнениями со сдвигами Карлемана [1] или уравнениями с инво- люцией. Теория уравнений с инволютивно преобразованными аргументами и их приложения подробно описаны в монографиях [2; 3]. В целом дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргументов называют нелокальными дифференциальными уравнениями.

Краевые и начально-краевые задачи для нелокальных аналогов классических дифференциальных уравнений исследовались в многочисленных работах авторов [4–9].

Помимо этого для классических уравнений можно исследовать нелокальные краевые задачи типа Бицадзе — Самарского [10], в которых значения искомой функции u(x) в границе области связаны со значениями u(Sx). Отметим, что многочисленные приложения нелокальных краевых задач для эллип- тических уравнений к задачам физики, техники и других отраслей науки подробно описаны в рабо- тах [11; 12].

В настоящей статье при помощью отображения типа инволюции рассматривается аналог нелокально- го оператора Лапласа, и для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона исследуется краевая задача с наклонной производной. Кроме того, для классического уравнения Пуассона изучает- ся также нелокальная краевая задача, в котором граничная условия задается в виде связи значений наклонной производной в точках x и Sx.

Отметим, что основные краевые задачи (Дирихле, Неймана и Робена) для нелокального аналога уравнения Пуассона с преобразованиями типа инволюции исследованы в работе [13]. Кроме того, для классического уравнения Пуассона обобщенная краевая задача Дирихле с отображениями типа инволю- ции изучена в работе [14].

Переходим к постановке задач, рассматриваемых в настоящей статье. Для любого x =

n

= (x1, ..., xn1, xn) из R

введем обозначение x = (x˜, xn), где x˜

= (x1, ..., xn1). Пусть m ?: 2,

m = {x Rn : |x˜|2 + |xn|m < 1}, m = {x Rn : |x˜|2 + |xn|m = 1} , Γ = {x m : xn = 0} , n ?: 3.

В пространстве Rn рассмотрим отображение Sx = x и введем оператор IS u(x) = u(x). Очевидно,

что отображение S является инволюцией, т. е. S2x = x.

Пусть a, b — действительные числа. Рассмотрим в области m следующие задачи

Задача 1. Найти функцию u (x) C2 (Ωm) C1 (¯ m), удовлетворяющую условиям

au(x) + bu(x) = f (x), x m, (1)

 

∂u

 

image

∂xn

(x) = g (x) , x m (2)

 

u (x) = ϕ (x) , x Γ. (3)

Задача 2. Найти функцию u (x) C2 (Ωm) C1 (¯ m), удовлетворяющую условиям

u(x) = f (x), x m, (4)

 

∂u

image

a

∂xn

 

(x) + b

∂u

 

image

∂xn

(x) = g (x) , x m, (5)

 

u (x) = ϕ (x) , x Γ. (6)

image

∂x

 

Здесь u

n

image

∂xn

 

(x) означает ∂u

[ ∂u

image

(x) = IS xn

[ ∂u

.

 

(x)]

]

Заметим, что

 

image

IS

∂xn

(x)

image

n

 

̸= x

IS [u (x)] .

Если a = 1, b = 0, то рассматриваемые задачи совпадают с известной краевой задачей с наклонной производной для классического уравнения Пуассона. Известные утверждения относительно этой задачи мы изложим в п. 2 настоящей работы.

Отметим также, что краевые задачи с отображениями типа инволюция исследованы в рабо- тах [15; 16].

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16

Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 9

 

  1. О задаче с наклонной производной

    Приведем известные утверждения относительно задачи с наклонной производной для уравнения Ла- пласа.

    Рассмотрим следующую задачу:

    v(x) = 0, x m, (7)

     

    ∂v

     

    image

    ∂xn

    (x) = h (x) , x m, (8)

     

    v(x) = ψ (x) , x Γ. (9)

    Заметим, что вырождающиеся краевые задачи с наклонной производной для эллиптических уравнений исследованы в работах многочисленных авторов [17; 18]. В работе [17] доказаны следующие утвержде- ния.

    image

    image

    Теорема 1. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0 и h (x) Cλ (m), где λ > 1 1 , причем число λ + 1

    m m

    m (¯ m)

    image

    нецелое. Тогда решение задачи (7)–(9) существует, единственно и принадлежит классу Cλ+ 1 .

    image

    m

     

    Теорема 2. Пусть в задаче (7)–(9) ψ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1

    нецелое. Тогда существует

    функция h (x) Cλ (m) такое, что решение задачи (7)–(9) при любом ε > 0 не принадлежит классу

    image

    m

     

    Cλ+ 1 +ε (¯

    m).

    image

    m

     

    Таким образом, из утверждений теорем 1 и 2 следует, что в отличие от задачи Неймана в случае задачи с наклонной производной получается потеря гладкости решения на порядок 1 1 . В следующем

    утверждении доказывается, что при специальном выборе граничной функции h (x) эту потерю гладкости решения можно восстановить. В работе [18] доказано следующее утверждение.

    n

     

    Теорема 3. Пусть 0 < λ < 1 и ψ (x) Cλ+1 (Γ). Предположим, что h (x) = xm1 · g0 (x), где

    g0 (x) Cλ (m). Тогда существует решение задачи (7)–(9), принадлежащее классу Cλ+1 (¯ m).

    В дальнейшем при доказательстве основных утверждений относительно задач 1 и 2 существенно используются утверждения теорем 1–3.

     

  2. Исследования задачи 1

    Исследуем задачу 1. Сначала приведем теорему о единственности решения.

    Теорема 4. Пусть a ̸= ±b, и решение задачи 1 существует, тогда оно единственно.

    Доказательство. Пусть u (x) — решение однородной задачи 1. Обозначим v(x) = au(x) + bu(x), x m. Тогда v(x) = 0, x m; v(x)|Γ = 0. Далее из равенства

     

    ∂v(x)

    ∂xn

    ∂u(x)

    = a

    ∂xn

    + b

    ∂xn

     

    IS u(x) = a

    ∂u(x)

    ∂xn

    b · IS

    [ ∂u(x)]

    ∂xn

    ∂u(x)

    = a

    ∂xn

    b∂u(x)

    ∂xn

    и однородного граничного условия (2) следует

     

     

     

    ∂ v(x)

     

    = 0.

    ∂xn

     

    m

    Таким образом, если u (x) — решение однородной задачи 1, то функция v(x) = au(x) + bu(Sx) бу- дет удовлетворять однородным условиям задачи (7)–(9). Тогда по теореме 1 имеем v(x) 0, x ¯ m.

    Следовательно,

     

     

    Из этого равенства также следует

     

    Отсюда

    au(x) + bu(x) 0, x ¯ m. au(x) + bu(x) 0, x ¯ m.

    (a2 b2) u(x) 0, x ¯ m.

    Тогда, если a ̸= ±b, то u(x) 0, x ¯ m. Теорема доказана.

    Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией

    10 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

     

    Замечание 1. Если в задаче 1 выполняется условие a = ±b, то легко показать, что однородная задача имеет ненулевые решения. Например, рассмотрим функцию u (x) = (1 − |x|2)2 H (x), где H (x) =

     

     

     

    = xn · (x1 + x2 + ... + xn1). Очевидно, что u (x)

    image

    = 0, u

    = 0 и H (x) — гармоническая функция

     

    в . Тогда из равенств

    m

     

    Γ xn

    H (x) = 0; ∆ (1 − |x|2)2 = ∆ [1 2|x|2 + |x|4] = 4n + 4 (2 + n) |x|2;

     

    n

     

    j=1

     

    image

    ∂xj

    image

    H (x)

    ∂xj

    (1 − |x|2)2 =

    n1

     

    = xn

     

    (x1 + ... + xn

    1

     

    ) (1 − |x|2)2

    (x1 + ... + xn

    1) 4 (1 − |x|2) x =

     

    j=1

    ∂xj

     

    n1

    image

    xjn

    = xn 4 (1 − |x|2) xj 4xn (1 − |x|2) (x1 + ... + xn

    j=1

    1) =

     

    следует

    2)

     

    = 4xn (x1 + x2 + ... + xn1) (1 − |x|

    = 4H (x)

    (1 − |x|2)

     

    n

    u (x) = H (x) ∆ (1 − |x|2)2 + (1 − |x|2)H (x) + 2

    j=1

     

     

    image

    ∂xj

     

    image

    H (x)

    ∂xj

    (1 − |x|2)2 =

     

    Следовательно,

    = 4n + 4 (2 + n) |x|2 8 (1 − |x|2) H (x) .

    2

     

    u (x) = 4n + 4 (2 + n) |x|

    ( 2)

    8 1 − |x|

     

    H (x) .

    Отсюда получаем, что функция u (x) удовлетворяет уравнению

    u (x) u (x) = 0, x m

    и однородным граничным условиям (2) и (3).

    Далее исследуем существование и гладкость решения задачи 1.

    image

    image

    1

     

    1 (

     

    Теорема 5. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 1 , причем число λ + 1

    image

    нецелое, f (x) Cλ+ m 1 (¯

    , g (x)

    m m m)

    Cλ (m), ϕ (x) Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 1 существует и принадлежит классу Cλ+ m

    ¯ m).

    Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи (1)–(3). Обозначим v(x) = au(x) + bu(x), x m.

    Тогда для функции v(x) получаем краевую задачу

    v(x) = f (x), x m, (10)

    ∂v(x)

    = ag(x) bg(x) h(x), (11)

    ∂xn

     

    m

     

     

     

    v(x)

    Γ

    = (x) + (x) ψ(x). (12)

    Решение задачи (10)–(12) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:

    v1(x) = f (x), x m, v1(x)|m = 0, (13)

    ∂v2(x)

     

    ∂v1(x)

    v2(x) = 0, x m;

    ∂xn

     

     

    m

     

     

    = h(x)

    ∂xn

    , v2(x)

    Γ

    = ψ(x). (14)

    image

    1

     

    По условию теоремы f (x) Cλ+ m 1 (¯ m). Тогда решение задачи (13) существует, единственно и

    (¯ )

    m ( )

    принадлежит классу Cλ+ 1

    . Следовательно, v (x)

    C 1 ¯

    . Далее, если ϕ (x)

    Cλ+1

    (Γ) ,

    m +1 m

    1 λ+

    image

    image

    ∂xnm

    image

    ∂xn

     

    g (x) Cλ (m), то ψ (x) Cλ+1 (Γ), а функция h(x) v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу

    image

    1

     

    Cλ (m). Тогда по теореме 1 решение задачи (14) существует и принадлежит классу Cλ+ m (¯ m).

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 11

     

    Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,

    m (¯ m)

    x), x m, меняя x на x, получим

    image

    принадлежит классу Cλ+ 1

    . В равенстве v(x) = au(x) + bu(

    b, то

    .

     

    u(x) =

    = ±

    image

    a a2 b2

     

    v(x)

     

    image

    b a2 b2

     

    v(x), x ¯ m. (15)

    Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (10)–(12), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (15) удовлетворяет всем условиям задачи 1. Действительно, применяя к ра- венству (15) оператор , для точек x m имеем

     

    u(x) =

    image

    a a2 b2

    v(x)

    image

    b a2 b2

    v(x) =

    image

    a a2 b2

    f (x)

    image

    b a2 b2

    f (x).

    Меняя в последнем равенстве x на x, получим

    a b

     

    Отсюда

    image

    image

    u(x) = a2 b2 f (x) a2 b2 f (x).

     

    au(x) + bu(x) =

    image

    a2 a2 b2

    f (x)

    image

    ab a2 b2

    f (x) +

    image

    ba a2 b2

    1. (x)

      image

      b2 a2 b2

       

      f (x) = f (x),

      т. е. функция u(x) удовлетворяет уравнению (1). Далее для точек x m из граничного условия (11)

      имеем

       

       

      ∂u(x)

       

       

      a ∂v(x)

      =

       

       

      + b ∂v(x)

      a

      = h(x) +

      b

      h(x) =

      ∂xn

       

      m

      a2 b2

      a

      ∂xn

       

      m

      a2 b2

      ∂xn

      b

       

      m

      a2 b2

      a2 b2

      =

      image

      a2 b2

      [ag(x) bg(x)] +

      image

      a2 b2

      [ag(x) bg(x)] = g(x).

      Аналогично для точек x Γ, используя условие (12), получим

       

       

       

      u(x)

      Γ

      a

      =

      image

      a2 b2

      a

       

       

       

      v(x)

      Γ

      b

      image

      a2b2

       

       

       

      v(x)

      Γ

      b

      a

      =

      image

      a2 b2

      image

      b ψ(x) a2 b2

      ψ(x) =

      =

      image

      a2 b2

      [(x) + (x)]

      image

      a2 b2

      [(x) + (x)] = ϕ(x).

      Далее, так как v(x) Cλ+ m (¯ m), то v(x) Cλ+ m (¯ m), и поэтому функция u(x) из равенства

      1 1

      image image

      image

      1

       

      (15) также принадлежит классу v(x) Cλ+ m (¯ m). Теорема доказана.

      Следующее утверждение показывает, что полученный в теореме 5 показатель гладкости решения

      задачи 1 нельзя улучшить.

      image

      m

       

      Теорема 6. Пусть a ̸= ±b, f (x), ϕ (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1

      нецелое. Тогда существу-

      ет функция g (x) Cλ (m) такая, что решение задачи 1 при любом ε > 0 не принадлежит классу

      image

      m

       

      Cλ+ 1 +ε (¯

      m).

      Доказательство. Пусть ϕ (x) 0. Тогда ψ (x) = (x) + (x) 0. В задаче 1 выберем функцию

      g (x) Cλ (m) таким образом, чтобы решение этой задачи для любого ε > 0 не принадлежало классу

      image

      1

       

      Cλ+ 2 +ε (¯ m)

      (по теореме 2 такая функция существует). Тогда функция u (x), построенная по формуле

      m (¯ m)

      image

      (15), является гармонической, удовлетворяет краевым условиям (2),(3), принадлежит классу Cλ+ 1

      m)

      image

      1

       

      и u (x) / Cλ+ m +ε (¯

      . Теорема доказана.

      Аналогично доказывается следующее утверждение.

      n

       

      Теорема 7. Пусть a ̸= ±b, f (x) = 0, 0 < λ < 1 и ϕ (x) Cλ+1 (Γ). Предположим, что g (x) = xm1×

      ×g0 (x), где g0 (x) Cλ (m). Тогда существует решение задачи 1, принадлежащее классу Cλ+1 (¯ m).

       

  3. Исследования задачи 2

Переходим к изучению задачи 2. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть a ̸= ±b. Если решение задачи 2 существует, то оно единственно.

Доказательство. Предположим, что u (x) — решение однородной задачи 2. Обозначим v(x) =

 

 

 

= au(x) bu(x), x m. Очевидно, что функция v(x) гармоническая в области m и v(x)

Γ

 

 

 

= au(x)

Γ

 

 

 

bu(x)

Γ

image

∂x

 

= 0. Далее, так как ∂u(x)

n

IS

 

def

 

image

∂xn

image

∂xn

 

u(x) =

IS u(x), то

Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией

12 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

 

 

∂v(x)

∂xn

 

∂u(x)

= a

∂xn

 

b

 

  • ∂xn

     

    IS u(x) = a

     

    ∂u(x)

    ∂xn

    + b∂u(x)

    ∂xn

     

    . (16)

    Тогда из однородного краевого условия (5) следует

     

     

    ∂v(x)

    ∂u(x)

    = a

     

     

    + b∂u(x)

     

    = 0.

    ∂xn

     

    m

    ∂xn

    ∂xn

     

    m

    Итак, если u (x) — решение однородной задачи 2, то функция v(x) = au(x) bu(x), x m будет

    решением однородной задачи (10),(11). В силу утверждения теоремы 1 решение этой задачи единственно, и, следовательно, v(x) 0, x ¯ m. Отсюда

    au(x) bu(x) 0, x ¯ m, au(x) bu(x) 0, x ¯ m.

    Из последней системы следует (a2 b2) u(x) 0, x ¯ m. Тогда, если выполняется условие a ̸= ±b, то u(x) 0, x ¯ m. Теорема доказана.

    1

     

    Теперь переходим к исследованию существования и гладкости решения задачи 2. Справедливо утвер- ждение.

    image

    image

    1

     

    Теорема 9. Пусть a ̸= ±b, λ > 1 1 , причем число λ + 1

    image

    нецелое, f (x) Cλ+ m 1 (¯

    , g (x)

    m m m)

    Cλ (m), ϕ (x) Cλ+1 (Γ). Тогда решение задачи 2 существует и принадлежит классу Cλ+ m (¯

    m).

    Доказательство. Пусть u (x) — решение задачи 2. Обозначим v(x) = au(x) bu(x), x m. Тогда

    с учетом равенства (16) для функции v(x) получаем краевую задачу

    v(x) = af (x) bf (x), x m, (17)

    ∂v(x)

    = g(x), (18)

    ∂xn

     

    m

     

     

    v(x)

    Γ

    = (x) (x) ψ(x). (19)

    Решение задачи (17)–(19) будем искать в виде v(x) = v1(x)+v2(x), где функции v1(x) и v2(x) являются решениями следующих задач:

    v1(x) = f (x), x m, v1(x)|m = 0, (20)

    ∂v2(x)

     

    ∂v1(x)

    v2(x) = 0, x m;

    ∂xn

     

     

    m

     

     

    = g(x)

    ∂xn

    , v2(x)

    Γ

    = ψ(x), (21)

    image

    1

     

    По условию теоремы f (x) Cλ+ m 1 (¯ m). Тогда решение задачи (20) существует, единственно и при-

    image

    1

     

    m) ∂x

    ( )

    image

    надлежит классу Cλ+ m +1 (¯

     

    m

     

    . Следовательно, v1 (x) Cλ+ 1

    n

    ¯ m

    . Далее, если ϕ (x) C

    λ+1

    (Γ) , g (x)

    image

    ∂xn

     

    Cλ (m), то ψ (x) Cλ+1 (Γ), а функция g(x)v1 (x) , по крайней мере, принадлежит классу Cλ (m).

    m (¯ m)

    image

    Тогда по теореме 1 решение задачи (21) существует и принадлежит классу Cλ+ 1 .

    Значит, функция v(x) = v1(x) + v2(x) удовлетворяет условиям задачи (10)–(12) и, по крайней мере,

    m (¯ m)

    bu(x), x m, меняя x на x, получим,

    image

    принадлежит классу Cλ+ 1

    . В равенстве v(x) = au(x) b, то

    .

     

    u(x) =

    = ±

    image

    a a2 b2

     

    v(x) +

    image

    b a2 b2

    v(x), x ¯ m. (22)

    Покажем, что если функция v(x) является решением задачи (17)–(19), то при выполнении условии a ̸= ±b функция u(x) из (22) удовлетворяет всем условиям задачи 2. Действительно, применяя к ра- венству (22) оператор , для точек x m имеем

     

    u(x) =

    a

    image

    a a2 b2

     

    v(x) +

    b

    image

    a2 b2 b

    v(x) =

    =

    image

    a2 b2

    [af (x) bf (x)] +

    a2 b2

    image

    [af (x) bf (x)] =

    a2f (x)

     

    =

    image

    a2 b2

    image

    b2f (x) a2 b2

     

    = f (x).

    Значит, функция u(x) удовлетворяет уравнению (4). Далее для точек x m из граничного усло-

    вия (18) имеем

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 3. С. 7–16

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 7–16 13

     

     

     

     

    ∂u(x)

     

     

     

    a ∂v(x)

    =

     

     

    b ∂v(x)

     

    a

    = g(x)

     

    b

    g(x).

    ∂xn

     

    m

    a2 b2

    ∂xn

     

    m

    a2b2

    ∂xn

     

    m

    a2 b2

    a2 b2

    Меняя в последнем равенстве x на x, получим

     

     

    ∂u(x)

    a

    = g(x)

    b

    g(x).

     

    Тогда

     

    ∂u(x)

     

     

     

    ∂u(x)

    ∂xn

     

    m

     

    a2

    a2 b2

     

    ab

    a2 b2

     

    ab b2

    a + b

    ∂xn

    ∂xn

    =

    m

    image

    a2 b2

    g(x)

    a2 b2

    g(x) +

    a2 b2

    1. (x)

    a2 b2

    image

    g(x) =

     

    a2 b2

    =

    image

    a2 b2

     

    g(x) = g(x).

    Аналогично для точек x Γ, используя условие (19), получим

     

     

     

    u(x)

    Γ

    a

    =

    image

    a2 b2

    a

     

     

     

    v(x)

    Γ

    b

    +

    image

    a2 b2

     

     

     

    v(x)

    Γ

    b

    a

    =

    image

    a2 b2

    b

    ψ(x) +

    image

    a2 b2

    ψ(x) =

    =

    image

    a2 b2

    [(x) (x)] +

    m)

    image

    a2 b2

    m (¯

    [(x) (x)] = ϕ(x).

    )

    image

    1

     

    Далее, так как v(x) Cλ+ m (¯

    image

    1

     

    , то v(x) Cλ+

    m , и поэтому функция u(x) из равенства (22)

    1 (¯ )

    также принадлежит классу v(x) Cλ+ m

    m . Теорема доказана.

    Покажем, что показатель гладкости решения задачи 2, полученный в теореме 9, нельзя улучшить.

    Справедливо следующее утверждение.

    image

    m

     

    Теорема 10. Пусть f (x) = 0, λ > 0, причем число λ + 1

    нецелое. Существует функция g(x)

    Cλ(m) такая, что решение задачи 2 при любом ε > 0 не принадлежит классу Cλ+1/m+ε(Ω¯ m).

    Доказательство. Предположим, что функция v(x˜) является решением задачи

    v(x˜) = 0, |x| < 1; v(x˜)|Γ = ϕ(x˜). (23) Выберем функцию ϕ(x˜) Cλ(Γ) так, чтобы v(x˜) Cλ(|x| 1) и чтобы для любого ε > 0 выпол-

    нялось условие v(x˜) /

    Cλ+ε(|x| 1). Далее, если рассмотрим функцию u(x) = xnv(x˜), то она будет

    удовлетворять условиям следующей задачи:

     

    ∂u(x)

    u(x) = 0, x m;

    ∂xn

     

    image

     

     

     

    m

    = ϕ, u(x)

    Γ

    = 0.

    В силу утверждения теоремы 3 при выборе такой функции v(x˜) функция u(x) принадлежит классу

    Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) / Cλ+1/m+ε(Ω¯ m), ε > 0.

    Далее имеют место следующие равенства:

     

     

    Тогда

    ∂u(x)

    ∂xn

     

    = v(x˜),

    ∂u(x)

    ∂xn

    = v(x˜).

    ∂u(x)

    a

    ∂xn

    + b∂u(x)

    ∂xn

     

     

     

    = av(x˜) + bv(x˜)

    Γ

    = (x˜) + (x˜) g(x).

    Таким образом, функция u(x) = xnv(x˜) принадлежит классу Cλ+1/m(Ω¯ m) и u(x) / Cλ+1/m+ε(Ω¯ ), ε > 0,

    а также удовлетворяет условиям

    ∂u(x)

    ∂u(Sx)

     

    Теорема доказана.

    u(x) = 0, x Ω; a

    image

     

     

    + b

    ∂xn

    ∂xn

     

    image

     

    = g(x), u(x)

    Γ

    = 0.

    Замечание 2. Если в задаче 2 выполняется один из условий a = ±b, то можно показать, что од-

    нородная задача имеют ненулевые решения. Например, если рассмотрим функцию u (x) = xnv (x˜), где

     

     

     

    v (x˜) — решение задачи (23), то u(x) = 0, x Ω; u(x)

    Γ

    = 0. Если функция v (x˜) дополнительно об-

    ладает свойством четности v (x˜) = v (x˜) или нечетности v (x˜) = v (x˜), то функция u (x) = xnv (x˜)

    будет удовлетворять граничному условию

    Назарова К.Ж., Турметов Б.Х., Усманов К.И. О разрешимости некоторых краевых задачах с инволюцией

    14 Nazarova K.Zh., Turmetov B.Kh., Usmanov K.I. On the solvability of some boundary value problems with involution

     

    ∂u(x)

     

     

    ∂u(x)

    = 0, a = b

     

    или

    ∂xn

    ∂xn

     

    m

    ∂u(x)

    +

     

     

    ∂u(x)

     

    = 0, a = b.

    ∂xn

    ∂xn

     

    m

×

About the authors

K. Zh. Nazarova

Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University

Author for correspondence.
Email: gjnazarova@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2093-1879

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics

Kazakhstan, 29, B. Sattarkhanov Avenue, Turkistan, 161200, Kazakhstan.

B. Kh. Turmetov

Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University

Email: turmetovbh@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7735-6484

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Mathematics

Kazakhstan, 29, B. Sattarkhanov Avenue, Turkistan, 161200, Kazakhstan

K. I. Usmanov

Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University

Email: y_kairat@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1377-4633

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the
Department of Mathematics

Kazakhstan, 29, B. Sattarkhanov Avenue, Turkistan, 161200, Kazakhstan

References

  1. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications. Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresse Zurich, 1932, vol. 1, pp. 132–151. Available at: https://studylibfr.com/doc/1054399/sur-la-th%C3%A9orie-des-%C3%A9quations-int%C3%A9grales-et-ses-applications.
  2. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Boston: Birkh?user, 2001, 427 p. DOI: http://doi.org/10.1007/978-1-4612-0183-0.
  3. Litvinchuk G.S. Boundary value problems and singular integral equations with shift. Moscow: Nauka, 1977, 448 p. Available at: https://booksee.org/book/578151. (In Russ.)
  4. Andreev A.A. Analogs of Classical Boundary Value Problems for a Second-Order Differential Equation with Deviating Argument. Differential Equations, 2004, vol. 40, pp. 1192–1194. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000049836.04104.6f (In Russ.)
  5. Andreev A.A., Ogorodnikov E.N. On the formulation and substantiation of the well-posedness of the initial boundary value problem for a class of nonlocal degenerate equations of hyperbolic type. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia "Fiziko-matematicheskie nauki" [Journal of
  6. Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences], 2006, no.43, pp. 44–51. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu452.(In Russ.)
  7. Baskakov A.G., Uskova N.B. Fourier method for first order differential equations with involution and groups of operators. Ufimskii matematicheskii zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2018, vol. 10, no. 3, pp. 11–34. DOI: http://dx.doi.org/10.13108/2018-10-3-11. (In Russ.)
  8. Burlutskaya M.Sh., Khromov A.P. Classical solution of a mixed problem with involution. Doklady Mathematics, 2010, vol. 82, pp. 865–868. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064562410060074. (In Russ.)
  9. Burlutskaya M.Sh., Khromov A.P. Substantiation of Fourier method in mixed problem with involution. Izvestiia Saratovskogo universiteta. Novaia seriia. Seriia Matematika. Mekhanika. Informatika [Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2011, vol. 11, no. 4, pp. 3–12. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2011-11-4-3-12. (In Russ.)
  10. Linkov A.V. Substantiation of a method the Fourier for boundary value problems with an involute deviation. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 1999, vol. 12, no. 2, pp. 60–65. Available at: https://studylib.ru/doc/2719636/obosnovanie-metoda-fur._e-dlya-kraevyh-zadach-s-involyutivnym. (In Russ.)
  11. Bitsadze A.V., Samarskii A.A. Some elementary generalizations of linear elliptic boundary value problems. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1969, vol. 185, no. 4, pp. 739–740. Available at: http://www.mathnet.ru/links/082eaf65360bc8ae00527123d59756ba/dan34529.pdf. (In Russ.)
  12. Skubachevskii A.L. Nonclassical boundary value problems. I. Journal of Mathematical Sciences, 2008, vol. 155, article number: 199. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-008-9218-9.
  13. Skubachevskii A.L. Nonclassical boundary value problems. II. Journalof Mathematical Sciences, 2010, vol. 166, no.4, pp. 377–561.
  14. Karachik V.V., Sarsenbi A., Turmetov B.Kh. On the solvability of the main boundary value problems for a nonlocal Poisson equation. Turkish Journal of Mathematics, 2019, vol. 43, no. 3, pp. 1604–1625. DOI: http://doi.org/10.3906/mat-1901-71.
  15. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. Solvability of one nonlocal Dirichlet problem for the Poisson equation. Novi Sad Journal of Mathematics, 2020, vol. 50, no. 1, pp. 67–88. DOI: http://doi.org/10.30755/NSJOM.08942.
  16. Przeworska-Rolewicz D. Some boundary value problems with transformed argument. Commentationes Mathematicae, 1974, vol. 17, no. 2, pp. 451–457. Available at: http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.ojs-doi-10_14708_cm_v17i2_5790/c/5790-5331.pdf.
  17. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On solvability of some nonlocal boundary value problems for polyharmonic equation. Kazakh Mathematical Journal, 2019, vol. 19, no. 1, pp. 39–49. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=39528389.
  18. Alimov Sh.A. On a problem with an oblique derivative. Differentsial’nye upravleniia [Differential Equations], 1981, vol. 17, no. 10, pp. 1738–1751. Available at: http://www.mathnet.ru/links/13fbcb22f29f7e709f94c414c81ba104/de4370.pdf. (In Russ.)
  19. Alimov Sh.A. On a boundary value problem. Dokl. Akad. Nauk SSSR [Doklady Mathematics], 1980, vol. 252, no. 5, pp. 1033–1034. (In Russ.)

Copyright (c) 2021 Nazarova K.Z., Turmetov B.K., Usmanov K.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies