Entanglemnt in nonlinear three-qubits Jaynes — Cummings
- Authors: Bagrov A.R.1, Bashkirov E.K.1
-
Affiliations:
- Samara National Research University
- Issue: Vol 29, No 1 (2023)
- Pages: 89-101
- Section: Physics
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/23145
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2023-29-1-89-101
- ID: 23145
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we investigated the dynamics of entanglement of pairs of qubits in a system of three identical qubits that interact non-resonantly with the selected mode of a microwave resonator without loss with the Kerr medium by means of single-photon transitions. We have found solutions to the quantum time Schrodinger equation for the total wave function of the system for the initial separable, biseparable and true entangled states of qubits and the Fock initial state of the resonator field. Based on these solutions, the criterion of entanglement of qubit pairs — negativity is calculated. The results of numerical simulation of the negativity of qubit pairs have shown that the presence of disorder and Kerr nonlinearity in the case of an initial non-entangled state of a pair of qubits can lead to a significant increase in the degree of their entanglement. In the case of an initial entangled state of a pair of qubits, the disorder and the Kerr medium can lead to a significant stabilization of the initial entanglement.
Full Text
Введение
Исследования многокубитных перепутанных состояний является одной из приоритетных задач квантовой информатики [1
В нашей предыдущей работе мы детально исследовали динамику перепутывания в системе трех кубитов, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе [67]. Представляет большой интерес обобщить полученные результаты на случай нерезонансного взаимодействия трех кубитов с электромагнитным полем резонатора с нелинейной средой Керра. Такой интерес обусловлен тем, что в ряде работ на примере двухкубитных моделей было показано, что учет расстройки и нелинейной среды Керра может существенно увеличить степень перепутывания кубитов, индуцированного полем резонатора, в случае сепарабельных начальных состояний кубитов и существенно стабилизировать осцилляции Раби параметра перепутывания кубитов в случае их перепутанного начального состояния [32
В настоящей статье мы исследовали динамику системы, состоящей из трех идентичных кубитов, нерезонансно взаимодействующих с модой фоковского квантового электромагнитного поля идеального нелинейного резонатора со средой Керра посредством однофотонных переходов. Полученные решения квантового уравнения эволюции использованы для расчета параметра перепутывания пар кубитов. Для оценки количественной меры перепутывания пар кубитов использовалась отрицательность или параметр Переса
1. Модель и решение временного уравнения Шредингера
Рассмотрим систему трех идентичных сверхпроводящих кубитов
где
Выберем в качестве начальных состояний подсистемы кубитов сепарабельные состояния вида
бисепарабельные состояния вида
а также истинно перепутанные состояния
где
и истинно перепутанные состояния
где
В качестве начального состояния поля резонатора выберем фоковские состояния вида
Для описания динамики рассматриваемой системы нам необходимо найти временную волновую функцию системы. Введем для нашей системы число возбуждений
Тогда для начальных состояний кубитов (1.2)
Для описания динамики рассматриваемой системы с гамильтонианом (1.1) необходимо решить квантовое уравнение Шредингера
Подставляя в это уравнение волновую функцию вида (1.6), получаем для коэффициентов
Для числа возбуждений
В рассматриваемом случае временная волновая функция может быть записана следующим образом:
Система дифференциальных уравнений для коэффициентов
Для числа возбуждений
Волновая функция для числа возбуждений
Соответствующая система дифференциальных уравнений для коэффициентов
Наконец для
В работе [67] для модели с нулевой расстройкой и в отсутсвие среды Керра нами найдены аналитические решения уравнений (1.7), (1.9) и (1.11). Для модели, рассматриваемой в настоящей статье, решения указанных уравнений имеют чрезмерно громоздкий вид. Поэтому мы ограничимся численным решением указанных уравнений. Имея временные волновые функций системы (1.6), (1.8), (1.10) или (1.12), мы можем вычислить временную матрицу плотности полной системы "три кубита+мода поля". Для начальных состояний кубитов (1.2)
где
Мы можем также вычислить редуцированную матрицу плотности трех кубитов, усредняя выражения (1.13) по переменным поля
Как уже отмечалось во введении, точные количественные меры перепутывания кубитов в настоящее время разработаны только для двухкубитных систем. В настоящей работе в качестве меры перепутывания выбран критерий Переса
2. Вычисление отрицательности и обсуждение результатов
Определим отрицательность для двух кубитов
где
Для сепарабельного начального состояния кубитов (1.2), бисепарабельного состояния (1.3) и истинных перепутанных состояний (1.4), (1.5) двухкубитная редуцированная матрица плотности имеет вид
Матричные элементы (2.2) кубитов
Для того же начального состояния и кубитов
Явные выражения для матричных элементов в (2.2) кубитов
Явный вид матричных элементов для тех же начальных состояний, но для кубитов
Частично транспонированная по переменным одного кубита редуцированная матрица плотности кубитов для (2.2) может быть представлена в виде
Матрица (2.3) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным. В результате отрицательность (2.1) может быть записана как
Результаты компьютерного моделирования временной зависимости отрицательности
Рис. 2.1. Зависимость отрицательностей
Fig. 2.1. Dependence of the negatives
На рис. 2.2 показаны аналогичные зависимости отрицательности
Рис. 2.2. Зависимость отрицательностей
Fig. 2.2. Dependence of the negatives
Рис. 2.3. Зависимость отрицательностей
Fig. 2.3. Dependence of the negatives
Рис. 2.4. Зависимость отрицательностей
Fig. 2.4. Dependence of negatives
Рис. 2.5. Зависимость отрицательностей
Fig. 2.5. Dependence of negatives
Рис 2.6. Зависимость отрицательности
Fig. 2.6. Dependence of the negativity of
Выводы
Таким образом, в данной статье нами исследована динамика перепутывания пар кубитов в системе, состоящей из трех идентичных кубитов, нерезонансно взаимодействующих с модой фоковского поля идеального резонатора со средой Керра. В работе рассмотрены три типа начальных состояний кубитов: сепарабельные, бисепарабельные и истинно перепутанные состояния
About the authors
Alexander R. Bagrov
Samara National Research University
Email: alexander.bagrov00@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1098-0300
undergraduate student of the Department of General and Theoretical Physics
Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086Eugene K. Bashkirov
Samara National Research University
Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics
Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, 443086References
- Kendon V.M., Nemoto K., Munro W.J. Typical entanglement in multi-qubit systems. Journal of Modern Optics, 2002, vol. 49, issue 10, pp. 1709–1716. DOI: http://doi.org/10.1080/09500340110120914.
- Most Y., Shimoni Y., Biham O. Formation of multipartite entanglement using random quantum gates. Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics, 2007, vol. 76, issue 2, article number 022328. DOI: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.76.022328.
- Zhi P., Hu Y. Construct maximally five- and seven-qubit entangled states via three - qubit GHZ state. International Journal of Theoretical Physics, 2022, vol. 36, issue 30, article number 2250215. DOI: http://doi.org/10.1142/S0217979222502150.
- Kazuyuki F., Kyoko H., Ryosuke K., Tatsuo S., Yukako W. Explicit Form of the Evolution Operator of TAVIS-CUMMINGS Model: Three and Four Atoms Cases. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 2012, vol. 1, number 6, pp. 721–730. DOI: http://doi.org/10.1142/S0219887804000344.
- Rinner S.J., Pittorino T. Generation of Multipartite Entangled States Using Switchable Coupling of Cooper-Pair-Boxes. Journal of Modern Physics, 2020, vol. 11, no. 10, pp. 1514–1527. DOI: http://doi.org/10.4236/jmp.2020.1110093.
- Wendin G. Quantum information processing with super-conducting circuits: a review. Reports on Progress in Physics, 2017, vol. 80, no. 10, article number 106001. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1361-6633/aa7e1a.
- Kjaergaard M., Schwartz M.E., Braum¨uller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play. Annual Reviews of Condensed Matter Physics, 2020, vol. 11, pp. 369–395. DOI: http://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
- Huang H.-L., Wu D., Fan D., Zhu X. Superconducting quantum computing: a review. Science China. Information Sciences, 2020, vol. 63, article number 180501. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s11432-020-2881-9.
- Chen J. Review on Quantum Communication and Quantum Computation. Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1865, article number 022008. DOI: http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/1865/2/022008.
- Biamonte J., Faccin M., De Domenico M. Complex networks from classical to quantum. Communications Physics, 2019, vol. 2, article number 53. DOI: http://dx.doi.org/10.1038/s42005-019-0152-6.
- Mooney G.J., Hill C.D., Hollenberg L.C.L. Entanglement in a 20-Qubit Superconducting Quantum Computer. Scientific Reports, 2019, vol. 9, article number 13465. DOI: http://doi.org/10.1038/s41598-019-49805-7.
- Apollaro T.J.G., Lorenzo S., Plastina F., Consiglio M., Zyczkowski K. Entangled States Are Harder to Transfer than Product States. Entropy, 2023, vol. 25, issue 1, article number 46. DOI: http://dx.doi.org/10.3390/e25010046.
- Nieman K., Rangan K.K., Durand H. Control Implemented on Quantum Computers: Effects of Noise, Nondeterminism, and Entanglement. Industrial Engineering Chemistry Research, 2022, vol. 61, issue 28, pp. 10133–10155. DOI: http://doi.org/10.1021/acs.iecr.2c00454.
- Arute F. [et al.] Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature, 2019, vol. 574, pp. 505–510. DOI: http://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5.
- Ball P. First quantum computer to pack 100 qubits enters crowded race. Nature, 2021, vol. 599, no. 7886, p. 542. DOI: http://dx.doi.org/10.1038/d41586-021-03476-5.
- Lacroix D. Symmetry-Assisted Preparation of Entangled Many-Body States on a Quantum Computer. Physical Review Letters, 2020, vol. 125, article number 230502. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.230502.
- Peres A. Separability Criterion for Density Matrices. Physical Review Letters, 1996, vol. 77, pp. 1413–1415. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1413.
- Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of Mixed States: Necessary and Sufficient Condition. Physics Letters A, 1996, vol. 223, pp. 333–339. DOI: http://doi.org/10.1016/S0375-9601(96)00706-2.
- Wootters W.K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits. Physical Review Letters, 1998, vol. 80, article number 2245. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.2245.
- Zha X., Yuan C., Zhang Y. Generalized criterion for a maximally multi-qubit entangled state. Laser Physics Letters, 1998, vol. 10, number 4, article number 045201. DOI: http://doi.org/10.1088/1612-2011/10/4/045201.
- Filippov S.N. Quantum Mappings and Characterization of Entangled Quantum States. Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 241, pp. 210–236. DOI: http://doi.org/10.1007/s10958-019-04418-3
- Seevinck M., G¨uhne O. Separability criteria for genuine multiparticle entanglement. New Journal of Physics, 2010, vol. 12, article number 053002. DOI: http://doi.org/10.1088/1367-2630/12/5/053002.
- Pereira L., Zambrano L., Delgado A. Scalable estimation of pure multi-qubit states. npj Quantum Information, 2022, vol. 8, article number 57. DOI: http://dx.doi.org/10.1038/s41534-022-00565-9.
- Zhahir A.A., Mohd S.M., Shuhud M.I.M., Idrus B., Zainuddin H., Jan N.M., Wahiddin M. Entanglement Quantification and Classification: A Systematic Literature Review. International Journal of Advanced Computer Science and Applications, 2022, vol. 13, issue 5, pp. 218–225. DOI: http://dx.doi.org/10.14569/IJACSA.2022.0130527.
- Dur W., Cirac J.I. Classification of multiqubit mixed states: Separability and distillability properties. Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics, 2000, vol. 62, article number 042314. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevA.61.042314.
- Dur W., Cirac J.I., Vidal G. Three qubits can be entangled in two inequivalent ways. Physical Review A: Atomic, molecular, and optical physics, 2000, vol. 62, article number 062314. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevA.62.062314.
- Acin A., Bru_ D., Lewenstein M., Sanpera A. Classification of Mixed Three-Qubit States. Physical Review Letters, 2000, vol. 87, article number 040401. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.040401.
- Garcia-Alcaine G., Sabin C. A classification of entanglement in three-qubit systems. European Physical Journal D, 2008, vol. 48, pp. 435–442. DOI: http://doi.org/10.1140/epjd/e2008-00112-5.
- Siti Munirah Mohd S.M., Idrus B., Zainuddin H., Mukhtar M. Entanglement Classification for a Three-qubit System using Special Unitary Groups. International Journal of Advanced Computer Science and Applications, 2019, vol. 10, issue 7, pp. 374–379. DOI: http://dx.doi.org/10.14569/IJACSA.2019.0100751.
- Akbari-Kourbolagh Y. Entanglement criteria for the three-qubit states. International Journal of Quantum Information, 2017, vol. 15, no. 7, article number 1750049. DOI: http://doi.org/10.1142/S0219749917500496.
- Bagrov A.R., Bashkirov E.K. Dynamics of the three-qubits Tavis — Cummings model. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2022, vol. 28, issue 1–2, pp. 95–105. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2022-28-1-2-95-105. (In Russ.)
- Zhang B. Entanglement between two qubits interacting with a slightly detuned thermal field. Optics Communications, 2010, vol. 283, issue 23, pp. 4676–4679. DOI: http://doi.org/10.1016/j.optcom.2010.06.094.
- Bashkirov E.K. Thermal Entanglement Between a Jaynes-Cummings Atom and an Isolated Atom. International Jornal of Theoretical Physics, 2018, vol. 57, issue 12, pp. 3761–3771. DOI: http://doi.org/10.1007/s10773-018-3888-y.
- Al Naim A.F., Khan J.Y., Khalil E.M., Abdel-Khalek S. Effects of Kerr Medium and Stark Shift Parameter on Wehrl Entropy and the Field Purity for Two-Photon Jaynes–Cummings Model Under Dispersive Approximation. Journal of Russian Laser Research, 2019, vol. 40, issue 1, pp. 20–29. DOI: http://doi.org/10.1007/s10946-019-09764-w.
- Aldaghfag S.A., Berrada K., Abdel-Khalek S. Entanglement and photon statistics of two dipole-dipole coupled superconducting qubits with Kerr-like nonlinearities. Results in Physics, 2020, vol. 16, number 102978. DOI: http://doi.org/10.1016/j.rinp.2020.102978.
- Bashkirov E.K. Thermal entanglement in Tavis-Cummings models with Kerr media. Proceedings of SPIE, 2022, vol. 12193, article number 121930Q. DOI: http://doi.org/10.1117/12.2625838.
Supplementary files
![](/img/style/loading.gif)