PROBLEMS OF DIFFERENTIAL AND TOPOLOGICAL DIAGNOSTICS. PART 7. DIFFERENTIAL DIAGNOSTICS IN SOME SYSTEMS OF DIRECT AND INDIRECT CONTROL


Cite item

Abstract

Proposed work is the seventh work of the cycle on differential and topological diagnostics. Diagnostics of
malfunctions in the system of indirect control of an object whose motion is described by nonlinear ordinary differential equations of the third order (the problem of B.V. Bulgakov) is considered. In the diagnostic algorithm used, the scope of control is selected, when a certain constant value is assigned to each faulty system, and according to certain rules, the numbers obtained in the process of integrating equations and characterizing the functional state of the system are compared with it. Troubleshooting is also considered in one system of direct control of the movement of the aircraft, which can be described by nonlinear differential equations of the second order. At the same time, a certain diagnostic algorithm is built and used in accordance with the previously developed methodology.

Full Text

  • Введение

    Напомним, что задача дифференциальной диагностики функционального состояния объектов управления [1–6] может быть сведена к двум самостоятельным последовательно решаемым задачам: задаче контроля, т. е. установлению критерия наличия неисправности в системе, и задаче диагностирования, т. е. поиску происшедшей неисправности [7; 8]. Критерием наличия неисправности в системе может быть выход траектории объекта на некоторую заранее выбранную поверхность. Неисправность может произойти в любой заранее неизвестный момент времени движения объекта, в любой точке внутри данной поверхности контроля [9; 10].

    Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 7. Диагностирование в системах ...

    32 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 7. Differential diagnostics in some systems ...

     

    При этом исходной информацией при решении задачи контроля являются математическая модель движения рассматриваемого объекта, ограниченная область ее начальных условий и априорный список математических моделей движения объекта с той или иной возможной неисправностью. По этой информации может быть выбрана поверхность контроля [11–13].

    Как известно, задача диагностирования может быть решена путем последующего слежения за траекторией объекта после ее выхода на поверхность контроля. При этом необходимо, чтобы процесс диагностики совершался во время движения объекта, был осуществлен в течение весьма краткого интервала времени, например за полупериод или за четвертую часть периода быстрых колебаний объекта, и не требовал дополнительного приборного обеспечения. Эти обстоятельства иногда не позволяют использовать довольно громоздкие алгоритмы теории идентификации и приводят к необходимости построения алгоритмов непрерывной экспресс-диагностики.

     

    • Еще раз о задаче контроля

      Рассмотрим управляемую динамическую систему, движение которой может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями

      x = f0(x, t), x(t0) = x0 S0, t0 ::: t ::: T0, x X Rn, (1.1) где x n-мерный фазовый вектор системы, f0(x, t) — непрерывная (или гладкая) вектор-функция,

      S0 — известная с центром в начале координат и радиуса R0 сфера начальных значений, T0 — конечное

      время.

      Предположим, что тривиальное решение системы (1.1) при условии

      f0(0, t) 0, t [t0, T0] (1.2)

      асимптотически устойчиво и описывает желаемое движение, которое обеспечивается во времени в рассматриваемой области пространства системой управления (СУ) посредством функции u(t). Структура СУ (управление u(t)) и соответствующие параметры выбираем, исходя из цели управления и условий устойчивости системы (1.1), полученных, например, с помощью некоторой функции Ляпунова v(x, t) > 0. Систему (1.1), удовлетворяющую перечисленным условиям, обычно называют исправной [14–16].

      Пусть в СУ движением данного объекта может произойти l неисправностей. Формально определим неисправность следующим образом. Априори известно, что в некоторый случайный момент времени t правая часть системы (1.1) изменяется каким-либо из l способов. При этом система (1.1) заменяется одной из систем следующего вида:

      x = fj (x, t), x(t0) = x0 S0, t0 ::: t ::: T0, j = 1, . . . , l. (1.3)

      Фазовая траектория системы (1.1) после возникновения неисправности в некоторый момент времени непрерывно продолжается некоторой траекторией одной из систем вида (1.3).

      Предположим, что наблюдение за некоторыми компонентами фазового вектора (данные компоненты, как известно, образуют вектор контроля y(t) [17; 18], размерность которого m, очевидно, не превзойдет размерность n фазового вектора x(t)), дает возможность судить о том, что система вида (1.3) исправна или что в этой системе произошла неисправность. Задачу контроля сформулируем так.

      В фазовом пространстве вектора контроля y(t) требуется построить сферу SR радиуса R такую, чтобы фазовые траектории вектора контроля при интегрировании системы (1.1) с начальными

      условиями из некоторой выбранной сферы S0 в течение времени t < T0 t0 лежали внутри сферы

      SR, а траектории систем вида (1.3) пересекались со сферой SR.

      Пусть фазовая траектория системы (1.1) находится в малой окрестности начала координат, а неисправности таковы, что они доставляют неустойчивость тривиального решения системы (1.1) [19–21]. В некоторый случайный момент времени происходит неисправность, т. е. непрерывный переход на траекторию одной из систем вида (1.3), которая выходит из окрестности начала координат.

      В этом случае, проводя розыгрыш начальных условий x0 из ограниченного множества S0 и с этими начальными условиями интегрируя систему (1.1) на интервале времени [t0, T0], можно построить m ансамблей портретов координат вектора контроля y(t). За сферу контроля SR можно выбрать сферу, охватывающую объем ансамблей.

      Изложенный подход позволяет решать задачу контроля и в случае, когда среди систем вида (1.3) имеются устойчивые системы (т. е. системы, тривиальное решение которых асимптотически устойчиво). Траектории y(t) таких систем, выходящие из сферы S0, также должны пересекать сферу SR.

      Рассмотрим также сферу контроля SR и квадратичную форму

      (y, y) = 0. (1.4)

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 31–45

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 31–45 33

       

      R

       

      Этим уравнением для каждой из систем вида (1.3) определяется объем траекторий вектора контроля. Границу этого объема изнутри будем аппроксимировать некоторой конической поверхностью, пересечение которой со сферой SR обозначим через Sj , j = 1, . . . , l. Фазовые траектории вектора контроля y(t), полученные интегрированием j-й системы вида (1.3) с начальными условиями из сферы S0 (R0 < R), будут выходить из сферы SR через множество Sj . Те множества Sj , которые

      R R

      не пересекаются с другими траекториями вектора контроля, определяют номер неисправности.

      В противном случае j-я гипотеза отбрасывается сразу (см. также [22]).

      Таким образом, уже при решении задачи контроля можно уменьшить список систем вида (1.3) и даже диагностировать некоторые неисправности.

       

    • Динамическая система с непрямым управлением

      Рассмотрим динамическую систему с непрямым управлением, которая впервые изучена Б.В. Булгаковым:

      T 2η′′ + + = T 2ξ,

      ξ = φ(σ),

      image

      l

       

      σ = + + G2η′′ 1 ξ.

       

      (2.1)

      Здесь T 2 — постоянная, характеризующая инерционность объекта управления, U > 0 и k > 0 — его естественное демпфирование и восстанавливающая сила; a, E, G2, l — постоянные параметры системы управления. Величина φ(σ) принадлежит к классу так называемых допустимых функций и удовлетворяет условиям

      φ(σ) = 0 при σ = 0 и σφ(σ) > 0 при σ ̸= 0. (2.2)

      Будем считать, что в задаче (2.1) параметры T 2, U, k не изменяются в процессе движения, а параметры a, E, G2, l в процессе движения могут претерпевать изменения.

      Сначала необходимо найти условия асимптотической устойчивости тривиального решения системы (2.1) в пространстве ее параметров.

       

      • Достаточные условия устойчивости

        1

         

        Уравнения (2.1) запишем в следующей форме (η = x1, η = x = x2):

         

        Здесь

        x = Ax + bξ, ξ = φ(σ),

        σ = Cx ρξ.

         

        (2.3)

         

        ( x

        x = x

        1 ) , A = ( 0

        2 a2

        1 ) ( 0 ) ( γ

        , b = , C =

        a1 1 γ

        1 ) ;

        2

        (2.4)

         

        U

        a1 = T 2 > 0,

        k a2 = T 2

         

        > 0, ρ =

        1 2

        l G ;

         

         

        (2.5)

         

        G2 G2

        image

        image

        γ1 = E U T 2 , γ2 = a k T 2 ; (2.6)

        звездочкой обозначено транспонирование. Матрица A в (2.3) является “устойчивой”, поскольку корни ее характеристического уравнения

        det(A λE) = λ2 + a1λ + a2 = 0 (2.7) имеют отрицательные действительные части (E — единичная матрица).

        Приведем уравнения (2.3) к виду (x = ζ)

        ζ = + (σ), σ = Cζ ρφ(σ).

        При этом для невырожденности преобразования координат

         

        ζ = Ax + bξ, σ = Cx ρξ

        необходимо и достаточно, чтобы следующий определитель был отличен от нуля:

         

        (2.8)

         

        (2.9)

        I

         

        I A b

        I

        I

        I

         

        I ̸= 0. (2.10)

        I Cρ I

        Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 7. Диагностирование в системах ...

        34 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 7. Differential diagnostics in some systems ...

         

        Поскольку |A| = a2 ̸= 0, из (2.10) получаем условие

        image

        ̸ −

         

        ρ = CA1b = γ2

        a2

         

        (2.11)

        или

        1 k

        image

        a ̸= l T 2 . (2.12)

        Задача состоит в определении такой области значений параметров (регулятора), при которых гарантируется асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (2.8).

        Функцию Ляпунова возьмем в следующей форме:

        σ

        V = ζ+

        φ(s)ds. (2.13)

        0

        Тогда полная производная функции Ляпунова в силу системы (2.8) имеет следующий вид:

        ( C d ) ( ζ )

         

        где

        V˙ |(2.8) = ( ζφ )

        dρ

        φ , (2.14)

        1

         

        Пусть

        image

        C = AB = BA, d = Bb + 2 C. (2.15)

        B = ( p0 q0

        q0 r0

        )

        , C =

        ( p q

        q r

        )

        . (2.16)

        Очевидно, что если выполнены неравенства

        p > 0, r q2 > 0, (2.17)

        то матрица C положительно определена.

        Из второго неравенства (2.17) следует, что должно быть выполнено следующее строгое неравенство:

        r > 0. (2.18)

        Из первого равенства (2.15) находим

         

        p = 2a2q0,

        q = a1q0 + a2r0 p0, r = 2(a1r0 q0).

         

        (2.19)

        Определитель системы (2.19) относительно неизвестных p0, q0, r0 равен 4a1a2 > 0, поэтому данная система имеет единственное решение:

        2

         

        p0 = 1 a1 +a2

        1 a2

        q0 = 1 1

         

        2 a1 a2 p q + 2 a1 r,

        image

        2 a2 p,

         

        (2.20)

        r0 = 1 1

        1 1

        2 a1 a2 p + 2 a1 r.

        Используем далее так называемую модификацию Лурье. А именно, на выбор параметров системы (2.8) наложим ограничение, положив d = 0. Тогда, в соответствии с (2.15), учитывая (2.19), получаем два соотношения:

        p + a2γ2 = 0,

        p + ra2 + a1a2γ1 = 0. (2.21)

        Из первого равенства (2.21), в силу первого условия (2.17), следует, что γ2 < 0, а из второго равенства (2.21), в соответствии с неравенством (2.18), заключаем, что и γ1 < 0. Исключая p из (2.21), с учетом неравенства (2.18) получаем: γ2 > a1γ1.

        Таким образом, имеем три условия устойчивости параметров системы (2.1):

        γ1 < 0,

        γ2 < 0,

        γ2 > a1γ1.

        К этим условиям необходимо добавить условие, вытекающее непосредственно из (2.11):

        (2.22)

        ρ > dC1d = 0. (2.23)

        Группы неравенств (2.22) и (2.23) являются достаточными условиями асимптотической устойчивости тривиального решения рассматриваемой системы. Запишем их в виде исходных обозначений

        2

        image

        T 2

         

        E < U G ,

        0 < k G

        2

         

  • a < U

    (U G2

    • ,

      (2.24)

       

      image image

      T 2 T 2

      image

      l

       

      G2 < 1 .

      image

      T 2

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 31–45

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 31–45 35

       

      image

      image

      Рассмотрим трехмерное пространство параметров a, E, G2. В этом пространстве условия (2.24) задают область Y , целиком принадлежащую области Y , и соответствуют асимптотической устойчивости тривиального решения исходной системы. Область Y ограничена следующими плоскостями:

      image

      U

       

      2

       

      • G2 = ET .

        2

        image

        k

         

      • G2 = aT .

        image

        l

         

      • G2 = 1 .

        2

        (2.25)

        k U 2 /T 2 .

         

      • G2 = T 2 aEU/T

        image

        image

        image

        image

        Условие (2.10) невырожденности преобразования (2.9) удовлетворяется во всех внутренних точках этой области. Номинальные значения a, E, G2 параметров a, E, G2 выбираем внутри области Y .

        Рассмотрим численный пример и алгоритмы решения задачи диагностики.

         

          • Исправная система

            Пусть параметры объекта управления рассматриваемой системы (2.1) имеют значения:

            T = 1; U = 0, 4; k = 1; (2.26)

            image

            а параметры a, E, G2 системы управления объектом — номинальные значения из области Y :

             

            image

            image

            image

            a = 0, 5; E = 0, 2; G2 = 0, 5. (2.27)

            Кроме того, будем считать, что “параметр обратной связи” (l) удовлетворяет условию

            l = 1. (2.28)

            Тривиальное решение системы (2.1) с параметрами (2.26)–(2.28) асимптотически устойчиво. Эту систему и будем считать исправной.

            В качестве (замкнутой) области начальных условий H выберем шар (ограниченный сферой Sr ) радиуса r:

            H : x2 + x2 + x2 ::: r2. (2.29)

            1 2 3

            Если выбрать r = 0, 7, то любая траектория системы (2.1) с параметрами (2.26)–(2.28) и начальными условиями из области (2.29) за конечное время вернется в H и не выйдет оттуда, т. е. будет лежать в области притяжения начала координат.

             

          • Выбор сферы контроля SR

            При выборе сферы контроля SR радиуса R использована идея метода статистических испытаний [11; 23; 24]. Выбор точки в пространстве параметров осуществлен так. Параметры a, E, G2 приняты независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями

            image

            image

            image

            a, E, G2 и дисперсиями σ2

            = 0, 03, σ2

            = 0, 005 и σ2

            = 0, 03, обеспечивающими близкую к единице

            a E G2

            вероятность попадания в область Y˜ Y , имеющую следующие параметры:

            image

            image

            image

            Y˜ : a ± 3σa, E ± 3σE , G2 ± 3σG2 . (2.30)

            Для выбора точки в области H начальных условий будем полагать, что при любых фиксированных

            параметрах из только что построенной области Y˜

            область H начальных условий целиком погружена в

            область притяжения начала координат. В этом случае любая траектория, начинающаяся из области H, за конечное время вернется в H и уже не выйдет оттуда.

            Обозначим через XH область фазового пространства, заполненную траекториями системы, начинающимися в области H. Для отыскания границ множества XH достаточно рассмотреть только те траектории, которые начинаются со сферы Sr , а в качестве поверхности контроля выбрать сферу SR, охватывающую множество XH .

            Начальные условия считаем независимыми и равномерно распределенными по следующей сфере (радиуса r = 0, 7):

            Sr : x2 + x2 + x2 = 0, 72. (2.31)

            1 2 3

            Точку в пространстве параметров Y˜

            (2.30) и точку в пространстве начальных условий на сфере Sr

            (2.31) выбираем независимо одну от другой. В качестве сферы SR выбрана сфера радиуса R = 1, целиком содержащая множество XH из более чем 600 траекторий.

            Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 7. Диагностирование в системах ...

            36 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 7. Differential diagnostics in some systems ...

             

          • Неисправные системы

            Рассмотрим три неисправных системы вида (2.1) с параметрами, приведенными в табл. 2.1, где 1 (означает) — неисправен датчик угловой скорости, 2 (означает) — неисправен прибор, вырабатывающий сигнал, пропорциональный угловому ускорению, 3 (означает) — оборвана обратная связь в исполнительном органе. Все описанные неисправности имеют различную физическую природу и различные размерности, т. е. являются невырожденными. Все эти неисправности создают неустойчивость тривиального решения рассматриваемой системы. Интегрирование уравнений системы (2.1) с параметрами, соответствующими неисправным системам, начиналось из точек, равномерно распределенных на сфере Sr радиуса r = 0, 7.

            Таблица 2.1

            Table 2.1

             

            Неисправность системы

            a

            E

            G2

            1/l

            1

            0,5

            1,5

            0,5

            1

            2

            0,5

            0,2

            1,5

            1

            3

            0,5

            0,2

            0,5

            0

             

          • Выбор соответствующих констант Mj

            Каждая система уравнений (2.1) с параметрами a, E, G2, l, соответствующими неисправным системам типа 1–3 (см. табл. 2.1), проинтегрирована 450 раз. Всякий раз после выхода фазовой траектории в момент времени τ0 на сферу SR радиуса R = 1 на интервале времени [τ0, τ0 + τ ], где τ = 0, 2 с, для различных N = 1, 3, 5 осуществлен подсчет чисел:

             

            N

            ig1

             

            Sj = [(xij1 x2

            ig2

             

            + (xij2 x2

            ig3

             

            ) + (xij3 x2

            ] . (2.32)

            i=1

            Максимальное из 450 чисел Sj (j = 1, 2, 3), полученных для каждой неисправной системы типа 1–3 (см. табл. 2.1) при N = 1, 3, 5, выбрано в качестве константы Mj = max Sj (при каждом фиксированном j) (табл. 2.2).

            Из табл. 2.2 видно, что с возрастанием значения N величина константы Mj уменьшается. Таким образом, каждой неисправной системе соответствует определенное число Mj .

             

            Таблица 2.2

            Table 2.2

             

            Mj

            N = 1

            N = 2

            N = 3

            M1

            0, 50124 · 104

            0, 74702 · 109

            0, 43220 · 109

            M2

            0, 11825 · 106

            0, 14546 · 1010

            0, 24749 · 1011

            M3

            0, 12751 · 106

            0, 22850 · 1010

            0, 13614 · 1010

             

             

            image

            image

          • Подсчет величин Kj , σj , Kj и выбор N

            С начальными условиями, равномерно распределенными на сфере Sr , интегрируем одну из неисправных систем при j = 1, 2, 3. После выхода фазовой траектории на сферу SR на интервале времени [τ0, τ0 + τ ] при определенном N = 1, 3, 5 осуществляем подсчет трех сумм Sj и сравнение их с соответствующими значениями Mj , которые ранее были определены для данных N и j. Количество величин Sj , удовлетворяющих неравенству Sj ::: Mj , обозначим через Kk (xi ). Интегрирование уравнений

            j 0

            определенной неисправной системы с различными начальными условиями повторяем k = 50 раз и таким

            образом получаем следующие величины [16; 25]:

            1 50

             

             

            k i

            Kj = 50

             

            i=1

            Kj (x0), (2.33)

            Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 31–45

            Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 31–45 37

             

            [

             

             

             

            1 50

            ]1/2

             

            k i 2

            σj =

            50

            i=1

            (Kj Kj (x0))

             

            image

            σj

            , (2.34)

            image

            Kj = Kj ± √50 . (2.35)

            Для рассматриваемой системы уравнений (2.1) с неисправностями (см. табл. 2.2) 1, 2, 3 при произвольных начальных условиях на сфере Sr и k = 50, N = 1, 3, 5 получено значение Kj = 1 с ошибкой в вычислении, не превышающей 2 %.

            Поэтому достаточно выбрать N = 1.

            Таким образом, при одном измерении, исключая измерение начальных условий в момент выхода фазовой траектории системы на сферу SR, алгоритм диагностирования позволяет точно определять указанные неисправности.

             

          • Алгоритм восстановления

            Используем найденные параметры алгоритма восстановления SR, Mj , N для обнаружения возникшей неисправности и восстановления системы (2.1). В результате математического эксперимента по восстановлению системы (2.1) при неисправном датчике угловой скорости, т. е. с параметрами неисправности 1, установлено, что неисправность возникает в окрестности начала координат (0; 0; 0, 1) и фазовая точка перемещается по некоторой фазовой траектории T1.

            Согласно алгоритму поиска неисправности процесс восстановления осуществляется следующим образом. В момент τ0 фазовая траектория неисправной системы встречается со сферой SR. На интервале [τ0, τ ] происходит поиск неисправности (формируются суммы Sj , которые сравниваются с соответствующими константами Mj ; N = 1). В момент τ = 0, 2 с происходит обнаружение неисправности и подключение исправной системы. После этого фазовая точка по некоторой фазовой траектории T2 возвращается в окрестность начала координат.

            В случае, когда в системе управления (2.1) доступна измерению только одна фазовая координата,

            x1 = η, а функционал диагностирования (2.32) имеет вид

             

            N

            Sj = (xij1 xig1)2, j = 1, 2, 3, (2.36)

            i=1

             

            получается результат, аналогичный изложенному выше.

             

        • Динамическая система с прямым управлением

        Как уже отмечалось ранее [1; 2; 26], задача дифференциальной диагностики функционального состояния объектов управления может быть сведена к двум самостоятельным последовательно решаемым задачам: задаче контроля, т. е. установлению критерия наличия неисправности в системе, и задаче диагностирования, т. е. поиску происшедшей неисправности. Критерием наличия неисправности в системе может быть выход траектории объекта на некоторую заранее выбранную поверхность. Неисправность может произойти в любой заранее неизвестный момент времени движения объекта, в любой точке внутри данной поверхности контроля [23; 27].

        Исходной информацией при решении задачи контроля являются математическая модель движения рассматриваемого объекта, ограниченная область ее начальных условий и априорный список математических моделей движения объекта с той или иной возможной неисправностью. По этой информации может быть выбрана поверхность контроля.

        Задача диагностирования может быть решена путем последующего слежения за траекторией объекта после ее выхода на поверхность контроля. При этом необходимо, чтобы процесс диагностики совершался во время движения объекта, был осуществлен в течение весьма краткого интервала времени, например, за полупериод или за четвертую часть периода быстрых колебаний объекта, и не требовал дополнительного приборного обеспечения. Эти обстоятельства зачастую не позволяют использовать довольно громоздкие алгоритмы теории идентификации и приводят к необходимости построения алгоритмов непрерывной экспресс-диагностики.

        Рассмотрим применение развиваемой методики диагностирования на интересном примере, взятом из теории летательных аппаратов.

        Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 7. Диагностирование в системах ...

        38 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 7. Differential diagnostics in some systems ...

         

          • Уравнения движения

            Рассмотрим летательный аппарат с прямым управлением, движение которого может быть описано нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка

            x = A(x)ξ bδ,

             

            Здесь

            δ = Φ(ζ),

            ζ = rT x + (x, δ, f (η)).

            (3.1)

            x = ( x1 )

            x2

             

            (3.2)

            — вектор, характеризующий состояние летательного аппарата;

            δ — координата управления;

            A = ( a11 a12

            a21 a22

            )

            (3.3)

            — постоянная “устойчивая” матрица (т. е. действительные части ее собственных значений отрицательны);

            t

            φ(x, δ, f (η)) =

             

            а

            (pT x + f (η))dt, (3.4)

            t0

             

            — постоянные матрицы;

            b = ( b1

            b2

            )

            , p =

            ( p1

            p2

            )

            , r =

            ( r1 )

            r2

            (3.5)

            q и h — постоянные скалярные величины;

            T — символ транспонирования матрицы.

            Функции Φ(ζ) и f (η) (η — формируемый сигнал обратной связи) принадлежат к классу допустимых функций: они определены и непрерывны при всех значениях ζ и η и удовлетворяют следующим условиям:

             

            Φ(ζ) = 0, ζ = 0; ζΦ(ζ) > 0, ζ ̸= 0,

            f (η) = 0, η = 0; ηf (η) > 0, η ̸= 0.

             

            (3.6)

            Первая задача, которая возникает при исследовании системы (3.1), ставится следующим образом: найти такое формируемое η, которое не доставляет неустойчивости аппарату и обеспечивает выполнение цели управления. Целью управления может быть, например, отслеживание системой формируемого сигнала η.

            Для решения этой задачи прежде всего необходимо найти условия, при выполнении которых система (3.1) является устойчивой.

             

          • Достаточные условия устойчивости

            В дальнейшем требуется выражение для ζ. В силу системы (3.1) выполнены следующие равенства:

            ζ = rT x + = cT x ρΦ(ζ) hf (η), (3.7)

            где

             

            c = rT A + hpT =

            ( c11

            c22

            )

            , ρ = rT b + hq. (3.8)

            Функцию Ляпунова выберем в следующем виде:

            ζ

            V = xT Bx +

            0

             

            Φ(ζ)dζ. (3.9)

            Полная производная по времени функции Ляпунова в силу системы (3.1) представится в следующем виде:

            V = xT Bx + xT Bx + Φ(ζ)ζ. (3.10)

            В силу (3.1) и (3.7) производная вдоль траектории будет равна

            V = ( xT Φ )

            ( C d ) ( x

            )

            + Φ(ζ)hf (η), (3.11)

            dT ρ Φ

            Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 31–45

            Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 31–45 39

             

            где

            C = AT B + BA, (3.12)

            1

            image

            d = Bb 2 c. (3.13)

            Для положительной определенности величины V как квадратичной формы от x, Φ и f потребуем

            выполнения условий

             

            C > 0, (3.14)

            ρ > dT C1d, (3.15)

            h > 0, (3.16)

            Φ(ζ)f (η) > 0. (3.17)

            Далее положительную определенность величины V гарантировать значительно проще, положив

            1

            image

            d = Bb 2 c = 0. (3.18)

            В силу (3.18) из (3.15) следует, что

             

            ρ = r1b1 + r2b2 + hq > 0. (3.19)

            Из (3.17) также следует, что функция f (η) должна иметь тот же знак, что и функция Φ(ζ).

            Перейдем теперь к совместному решению уравнений Ляпунова (3.12) и уравнения (3.15). С этой целью выберем матрицы B и C в следующем виде:

             

            Если в (3.20) принять, что

            B = ( p0 q0

            q0 r0

            )

            , C =

            ( p 0 )

            0 r

             

            . (3.20)

             

            то матрица C положительно определена.

            p > 0, r > 0, (3.21)

            С учетом (3.20) и уравнения Ляпунова (3.12) получим следующую систему уравнений:

            p = 2

            r = 2

            (( )

            a11 +a22

             

            (( )

             

             

             

            a11 a12 a21

            a22

             

            a12 a21 a11 +a22

             

            p0

             

            a

             

            r

             

            )

             

            ,

             

            2

            21

            image

            )

             

            a11 +a22 0

            r0 + a

             

            p

             

            ,

             

            2

            12

            a11 +a22 0

             

            (3.22)

            a11 + a22 ̸= 0. (3.23)

            Если определитель системы алгебраических уравнений (3.22) относительно неизвестных p0, r0

            ∆ = 4(a11a22 a12a21) (3.24)

            отличен от нуля, то система (3.22) будет иметь единственное решение. Предположим, что определитель (3.24) не равен нулю, и выпишем решение системы уравнений (3.22) в следующем виде:

            image

            image

            image

            2

             

            p0 = 2 ((a22 a12 a21 ) p a21

            r) ,

            a11 +a22

            a11 +a22

            2

            (3.25)

            image

            image

            image

            .

             

            p

             

            r0 = 2 ( (a11 a12 a21 ) r a12 )

             

            При этом

            a11 +a22

             

            2 1

            a11 +a22

            image

            a

             

            q0 =

            11

            + a22

            (a12a22p + a21a11r). (3.26)

            Выпишем, далее, учитывая (3.20), решение уравнения (3.18). Имеем:

            image

            2

             

            p0b1 + q0b2 = 1 c11,

            image

            2

             

            q0b1 + r0b2 = 1 c22. (3.27)

            А теперь перепишем уравнения (3.27) с учетом (3.25) и (3.26):

            2 {( (

            a12 a21 )

            a12 a22 ) p+

            b1

            a22 a11 +a22

            + b2 a11 +a22

            + (b1 a21 a11

            a21 a11 ) r} = 1

            image

            a11 +a22 + b2 a11 +a22

            2

            2 c11,

            (3.28)

            2 {(

            a12 a22

            12

             

            a ) p+

            b1 a11 +a22 b2 a11 +a22

            image

            + (b1 a21 a11

            12 21 )) r} =

            c22.

            (a a a 1

            a11 +a22 b2 11

            a11 +a22 2

            Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 7. Диагностирование в системах ...

            40 Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 7. Differential diagnostics in some systems ...

             

            Определитель системы (3.28) имеет вид:

            image

            image

            image

            ∆ = (b1 (a22 a12 a21 ) + b2 a12 a22 ) ×

            a11 +a22

            a11 +a22

            (

            × b1 a21 a11

            (a a12 a21 ))

            (3.29)

             

            1

            a11 +a22 b2 11

            2

             

            image

            a11 +a22

            2

            (a11 +a22 )2 (b1a21 + b2a21a11)(b1a12a22 b2a12).

            Тогда решение системы алгебраических уравнений (3.28) примет вид:

            p = 1 {(b1 a21 a11

            ( a12 a21 ))

            a c11

            ∆∆ a11 +a22 b2 11

            a11 +a22

            1 2 }

            a11 +a22 (b2a21a11 b1a21)c22 ,

            (3.30)

            r = 1 {(b2 a12 a22

            ( a12 a21 ))

            a c22

            ∆∆ a11 +a22 b1 22

            a11 +a22

            1 2 }

            a11 +a22 (b1a12a22 b2a12)c11 .

            Учитывая (3.21), из (3.30) получим следующие условия:

            a11 +a22 b2

             

            a

             

            (b1 a21 a11 ( 11

            > 1

            a12 a21 ))

            a11 +a22 c11 >

            2

            a11 +a22 (b2a21a11 b1a21)c22,

            (3.31)

            a11 +a22 b1

             

            a

             

            (b2 a12 a22 ( 22

            > 1

            a12 a21 ))

            a11 +a22 c22 >

            2

             

            Таким образом, если

            a11 +a22 (b1a12a22 b2a12)c11.

            image

            a11 + a22 ̸= 0, ̸= 0, ̸= 0, (3.32)

            то выполняются условия (3.16), (3.19) и (3.31). Поэтому рассматриваемая система будет абсолютно устойчивой независимо от выбора допустимых функций Φ и f , удовлетворяющих условию (3.17), то есть

            все решения системы (3.1) будут сходиться к началу координат при t +. При этом предполагается,

            что начало координат x0 является единственной критической точкой системы (3.1).

            Условие (3.17), в силу (3.18), легко может быть нарушено. Могут возникнуть и другие ситуации, которые обусловят нежелательные последствия, то есть обусловят нарушение цели управления. Поэтому возникает вторая задача при исследовании системы (3.1) — задача диагностирования нежелательных ситуаций, то есть диагностирования неисправностей, которые могут возникнуть в системе управления летательным аппаратом.

             

          • Априорный список неисправностей

            Остановимся только на диагностировании отказов в системе управления летательным аппаратом (3.1). Рассмотрим список отказов трех датчиков, так или иначе формирующих три обратные связи в системе управления объектом:

            1) r1 = 0. (3.33)

            2) r2 = 0, p2 = 0, q = 0. (3.34)

            3) η = 0. (3.35)

             

          • Функционал диагностирования

            Сформируем следующие суммы:

            N N

            Sj = (xjk (tl) xgk (tl))2, j = 0, . . . , 3, (3.36)

            k=1 l=1

            где xjk (tl) являются значениями компонент вектора состояния рассматриваемой системы в момент tl, l = 1, . . . , N , рассчитанными для j-й траектории по уравнениям (3.1) для исходной системы и систем с параметрами (3.33)–(3.35);

            величины же xgk (tl) в (3.36) являются компонентами действительного вектора состояния, измеренного в моменты времени tl, l = 1, . . . , N .

            Справедлива основная теорема для данной задачи.

            Теорема 3.1. Для конечного набора систем уравнений найдутся такие числа Sj и N (j = 0, . . . , 3), что при некотором номере i величина Si = minj Sj, возникшая в системе неисправности с неизвестным номером j в процессе движения объекта с помощью функционала (3.36), будет диагностирована однозначно (ср. с теоремами из [1; 2; 28; 29]).

            Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 3. С. 31–45

            Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 3, pp. 31–45 41

             

            Из этой теоремы и вытекает алгоритм диагностирования: из всех чисел Sj выбирается наименьшее, и номер i такого числа Si принимается за номер случившейся неисправности. Под номером “0” в априорный список включена исходная (исправная) система (3.1). Алгоритм диагностирования включается циклически, и если он обнаруживает нулевую неисправность, то моделируется дальнейшее функционирование системы.

            Если же номер j неисправности не был равен нулю, то выдается сигнал о возникновении j-й неисправности.

             

          • Численный эксперимент

        Вычислительными средствами моделировались поведение рассматриваемой системы, возникновение неисправности в системе и ее диагностика. Как уже отмечалось, априорный список содержал три неисправности, каждая из которых характеризует обрыв, соответствующий обратной связи в системе управления. В рассматриваемом примере вектор диагностирования был вектором состояния системы (x1, x2). Число измерений N = 3.

        Моделировалось исправное движение системы, начинавшееся в момент t0 = 0, затем возникновение неисправности № 1 в момент t1 = 15 с, включение алгоритма диагностирования в момент t2 = 20 с Алгоритм правильно диагностировал неисправность в момент t3 = 24 с.

        Неисправность № 2 моделировалась аналогичным образом, значения t0, t1, t2, t3 были такими же, как при моделировании неисправности № 1. Неисправность № 2 была определена в момент t3 правильно. Неисправность № 3 моделировалась следующим образом: начало функционирования — момент t0 = 0, возникновение неисправности — t1 = 10 с, включение алгоритма — t2 = 15 с. При первом включении алгоритм диагностировал систему как исправную, поэтому функционирование системы продолжалось и алгоритм включился вторично в момент t3 = 30 с и правильно диагностировал неисправность № 3 в

        момент t4 = 34 с [30–32].

         

        Заключение

        Сначала рассмотрен модельный пример по диагностике неисправностей в системе непрямого управления объектом, движение которого описывается нелинейными дифференциальными уравнениями третьего порядка, которые впервые изучались Б.В. Булгаковым. При этом используется алгоритм диагностирования, при котором выбирается сфера контроля, каждой неисправной системе ставится в соответствие некоторая константа и по определенным правилам осуществляется сравнение с этими константами чисел, полученных в процессе интегрирования уравнений и характеризующих функциональное состояние системы.

        Затем на уровне математических моделей и программ рассматривается диагностика систем прямого управления летательных аппаратов и показывается работоспособность предлагаемых алгоритмов диагностики. Рассматривается летательный аппарат с прямым управлением, движение которого в вертикальной плоскости (посадка) может быть описано нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Диагностике подвергаются отказы трех датчиков, формирующих три обратные связи в системе управления объектом.

×

About the authors

M. V. Shamolin

Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: shamolin@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-9534-0213

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, leading researcher of the Institute of Mechanics, expert of the Russian Academy of Sciences

Russian Federation

References

  1. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 1. Motion equations and classification of malfunctions. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2019, vol. 25, no. 1, pp. 32–43. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-1-32-43. (In Russ.)
  2. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 2. Problem of differential diagnostics. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 22–31. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-3-22-32. (In Russ.)
  3. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 3. The checking problem. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 36–47. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-4-36-47. (In Russ.)
  4. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 4. The case of exact trajectorial measurements. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 52–68. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-1-52-68. (In Russ.)
  5. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 5. The case of trajectorial measurements with error. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 30–39. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-3-30-39. (In Russ.)
  6. Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 6. Statistical resolving of differential diagnosis problem. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 82–88. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-1-74-80. (In Russ.)
  7. Borisenok I.T., Shamolin M.V. Resolving a Problem of Differential Diagnostics. Fundamental and Applied Mathematics, 1999, vol. 5, no. 3, pp. 775-–790. Available at: http://mech.math.msu.su/ fpm/rus/99/993/99309h.htm. (In Russ.)
  8. Shamolin M.V. Certain problems of differential and topological diagnostics. 2nd edition, revised and enlarged. Moscow: Ekzamen, 2007. Available at: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Shamolin2007-2ru.pdf. (In Russ.)
  9. Shamolin M.V. Foundations of Differential and Topological Diagnostics. Journal of Mathematical Sciences, 2003, vol. 114, no. 1, pp. 976–1024. DOI: http://dx.doi.org/10.1023/A:1021807110899.
  10. Parkhomenko P.P., Sagomonian E.S. Foundations of Technical Diagnostics. Moscow: Energiya, 1981. Available at: https://djvu.online/file/FmH1gaq0Jm2AJ. (In Russ.)
  11. Mironovskii L.A. Functional diagnosis of dynamic systems. Avtomatika i Telemekhanika = Automation and Remote Control, 1980, no. 8, pp. 96–121. Available at: http://mi.mathnet.ru/at7158. (In Russ.)
  12. Okunev Yu.M., Parusnikov N.A. Structural and Algorithmic Aspects of Modeling for Control Problems. Moscow: Izd-vo MGU, 1983. (In Russ.)
  13. Chikin M.G. Phase-constrained systems. Avtomatika i Telemekhanika = Automation and Remote Control, 1987, no. 10, pp. 38–46. Available at: http://mi.mathnet.ru/at4566. (In Russ.)
  14. Zhukov V.P. Sufficient and necessary conditions for the asymptotic stability of nonlinear dynamical systems. Avtomatika i Telemekhanika = Automation and Remote Control, 1994, vol. 55, no. 3, pp. 321–330. Available at: http://mi.mathnet.ru/at3855 (English; Russian original).
  15. Zhukov V.P. On the sufficient and necessary conditions for robustness of the nonlinear dynamic systems in terms of stability retention. Avtomatika i Telemekhanika = Automation and Remote Control, 2008, vol. 69, no. 1, pp. 27–35. DOI: http://doi.org/10.1134/S0005117908010037. (English; Russian original).
  16. Zhukov V.P. Reduction of Stability Study of Nonlinear Dynamic Systems by the Second Lyapunov Method. Avtomatika i Telemekhanika = Automation and Remote Control, 2005, vol. 66, no. 12, pp. 1916—1928. DOI: http://doi.org/10.1007/s10513-005-0224-9 (English; Russian original).
  17. Borisenok I.T., Shamolin M.V. Solving the problem of differential diagnostics by the method of statistical tests. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika = Moscow University Mechanics Bulletin, 2001, no. 1, pp. 29–31. Available at: http://mi.mathnet.ru/vmumm1441. (In Russ.)
  18. Beck A., Teboulle M. Mirror descent and nonlinear projected subgradient methods for convex optimization. Operations Research Letters, May 2003, vol. 31, issue 3, pp. 167–175. DOI: http://doi.org/10.1016/S0167-6377(02)00231-6.
  19. Ben-Tal A., Margalit T., Nemirovski A. The Ordered Subsets Mirror Descent Optimization Method with Applications to Tomography. SIAM Journal on Optimization, 2001, vol. 12, no. 1, pp. 79–108. DOI: http://doi.org/10.1137/S1052623499354564.
  20. Su W., Boyd S., Candes E. A Differential Equation for Modeling Nesterov’s Accelerated Gradient Method: Theory and Insights. Journal of Machine Learning Research, 2016, no. 17(153), pp. 1–43. Available at: https://www.researchgate.net/publication/311221666_A_differential_equation_for_modeling_Nesterov%E2%80%99s_accelerated_gradient_method_Theory_and_insights.
  21. Shamolin M.V. Diagnostics of Gyro-Stabilized Platform, Included in the Aircraft Motion Control System. Elektronnoe modelirovanie = Electronic Modeling, 2011, vol. 33, no. 3, pp. 121–126. Available at: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61768. (In Russ.)
  22. Shamolin M.V. Diagnostics of Aircraft Motion in Planning Descent Mode. Elektronnoe modelirovanie = Electronic Modeling, 2010, vol. 32, no. 5, pp. 31–44. Available at: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/61677. (In Russ.)
  23. Fleming W.H. Optimal Control of Partially Observable Diffusions. SIAM Journal on Control, 1968, vol. 6, no. 2, pp. 194–214. DOI: http://doi.org/10.1137/0306015.
  24. Choi D.H., Kim S.H., Sung D.K. Energy-efficient Maneuvering and Communication of a Single UAV-based Relay. IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems, 2014, vol. 50, no. 3, pp. 2119–2326. DOI: http://doi.org/10.1109/TAES.2013.130074.
  25. Ho D.-T., Grotli E.I., Sujit P.B., Johansen T.A., Sousa J.B. Optimization of Wireless Sensor Network and UAV Data Acquisition. Journal of Intelligent & Robotic Systems, 2015, vol. 78, no. 1, pp. 159–179. DOI: http://doi.org/10.1007/s10846-015-0175-5.
  26. Ceci C., Gerardi A., Tardelli P. Existence of Optimal Controls for Partially Observed Jump Processes. Acta Applicandae Mathematica, 2002, vol. 74, no. 2, pp. 155–175. DOI: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020669212384.
  27. Rieder U., Winter J. Optimal Control of Markovian Jump Processes with Partial Information and Applications to a Parallel Queueing Model. Mathematical Methods of Operations Research, 2009, vol. 70, pp. 567–596. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s00186-009-0284-7.
  28. Chiang M., Tan C.W., Hande P., Lan T. Power control in wireless cellular networks. Foundations and Trends in Networking, 2008, vol. 2, no. 4, pp. 381–533. DOI: http://dx.doi.org/10.1561/1300000009.
  29. Altman E., Avrachenkov K., Menache I., Miller G., Prabhu B.J., Shwartz A. Power control in wireless cellular networks. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, vol. 54, no. 10, pp. 2328–2340. DOI: http://dx.doi.org/10.1109/tac.2009.2028960.
  30. Ober R.J. Balanced Parameterization of Classes of Linear Systems. SIAM Journal on Control and Optimization, 1991, vol. 29, no. 6, pp. 1251–1287. DOI: http://doi.org/10.1137/0329065.
  31. Ober R.J., McFarlane D. Balanced Canonical Forms for Minimal Systems: A normalized Coprime Factor Approach. Linear Algebra and Its Applications, 1989, vol. 122–124, pp. 23–64. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(89)90646-0.
  32. Antoulas A.C., Sorensen D.C., Zhou Y. On the Decay Rate of Hankel Singular Values and Related Issues. Systems & Control Letters, 2002, vol. 46, pp. 323–342. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0167-6911(02)00147-0.

Copyright (c) 2022 Shamolin M.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies