ON A CHARACTERISTIC OF STRONGLY EMBEDDED SUBSPACES IN SYMMETRIC SPACES


Cite item

Abstract

It is shown that the presence of a lower p - estimate with constant 1 in the symmetric space E is sufficient for the condition of equivalence of convergence in norm and in measure on the subspace H of the space E to be satisfied if and only if the numerical characteristic ηE(H) < 1. The last criterion is also valid for symmetric spaces ”close ”to L1, more precisely, for which an analog of the Dunford - Pettis criterion of weak compactness is valid. In particular, it is shown that spaces ”close ”to L1, have the binary property: the characteristic ηE(H) takes only two values, 0 and 1. This gives an example of binary Orlicz spaces different
from the spaces Lp.

Full Text

Введение

В работе изучается следующая числовая характеристика подпространства H симметричного про- странства (с. п.) E:

[0]

 

 

xχ E

image

ηE (H) = lim sup

, (1)

τ0 xH

xE

где x(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), в неявном виде впер-

вые появившаяся в работе Кадеца — Пелчинского [1] для L1, позже для произвольного с. п. у Токарева

в [2]. Нас будут интересовать значения этой характеристики на подпространствах, в которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере (т. е. на сильно вложенных подпространствах). Один из критериев сильной вложенности подпространства H говорит о том, что в сепарабельном случае она

 

image

1Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра При- волжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

26Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

 

эквивалентна отсутствию в нём почти дизъюнктных последовательностей. В то же время, если H со- держит почти дизъюнктную последовательность, то ηE (H) = 1. Если для любого подпространства с. п. E верно также и обратное утверждение, то мы будем говорить, что E имеет η-нормальную структуру. Как показано в [3], сепарабельные пространства Орлича с нормой Люксембурга имеют η-нормальную структуру. С другой стороны, при некоторых условиях на индексы Бойда в несепарабельном с. п. мож- но ввести эквивалентную норму так, чтобы η-нормальная структура отсутствовала [4]. В данной работе показано, что с. п. E имеет η-нормальную структуру, если E удовлетворяет нижней p-оценке с констан-

той 1 для некоторого p < .

Характеристика (1), вообще говоря, не инвариантна относительно эквивалентных перенормировок, по-

этому возникает вопрос, когда η-нормальная структура сохраняется при такой перенормировке. В част- ности, этим свойством обладают бинарные пространства, т. е. такие, в которых характеристика (1) принимает лишь два значения, 0 и 1. Симметричные пространства, в которых верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, бинарны (см. теорему 3). С помощью этого результата мы получим примеры бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Lp.

 

  1. Предварительные сведения

    Банахово пространство E измеримых на [0, 1] функций называется симметричным (кратко с. п.) или перестановочно-инвариантным, если

    1. оно идеально, т. е. из |x(t)| |y(t)| для п. в. t [0, 1], измеримости x и y E следует: x E и

      xE yE ;

    2. из равноизмеримости функций x и y, т. е. равенства

      µ({t [0, 1] : |y(t)| > u}) = µ({t [0, 1] : |x(t)| > u}), u > 0,

      где µ(e) — мера Лебега множества e R, и y E вытекает x E и xE = yE .

      В частности, любая измеримая на [0, 1] функция x(t) равноизмерима со своей невозрастающей непре-

      рывной слева перестановкой

      x(t) := inf{u 0 : µ({s [0, 1] : |x(s)| > u}) < t}, 0 < t 1.

      Хорошо известно, что всякое с. п. является промежуточным между L и L1, т. е. L E L1.

      Также будем считать, что в с. п. выполнено условие нормировки:

      χ[0,1]E = 1,

      где χe — характеристическая функция множества e [0, 1].

      Стандартный пример симметричного пространства — пространство Лебега Lp, p [1, ]. Естествен- ным обобщением Lp служат так называемые пространства Орлича. Функция ϕ : R+ R называется функцией Орлича, если она строго возрастает, непрерывна, limt→∞ ϕ(t) = , ϕ(0) = 0 и ϕ(1) = 1.

      Пространство Орлича Lϕ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций x = x(t) таких, что норма Люк- сембурга

      ||x||ϕ = inf

      {

      u > 0 :

      ϕ

       

      1 ( |x(t)| )

      0 u

      }

      dt 1

      конечна. Часто пространство Lϕ рассматривают с нормой Орлича

       

      1

      {

      0

       

      xϕ = sup

      0

      |x(t)y(t)|dt :

      1

      1

       

       

      ψ(|y(t)|)dt },

      0

      где ψ(t) := supu0(ut ϕ(u)) — сопряженная функция к ϕ. Введенные нормы эквивалентны:

      0

       

      xϕ xϕ 2xϕ.

      Определение 1. Функция Орлича ϕ удовлетворяет -условию (ϕ ), если существуют константа

      K 2 и t0 0 такие, что

      2 2

       

      ϕ(2t) (t) для всех t t0.

      Если это неравенство имеет место для всех t 0, то говорят, что ϕ удовлетворяет 2 — условию (ϕ 2).

      Более полную информацию о функциях Орлича и пространствах Орлича можно найти в книгах [5–7].

      Определение 2. [8, определение 6.4.4] Подпространство H симметричного пространства E называ- ется сильно вложенным, если на H сходимость по норме E эквивалентна сходимости по мере.

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 27

       

      Легко показать, что подпространство H сильно вложено тогда и только тогда, когда для некоторого

      o > 0 имеем H ME,ε, где ME,ε — множество Кадеца — Пелчинского:

      ME,ε = {x E, µ(t : |x(t)| εxE )ε}.

      В данной работе в основном изучается числовая характеристика (1). Очевидно, что 0 ηE (H) 1

      1

       

      для любого подпространства H. Более того [9, предложение 3], ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH := {x H : xE 1} имеет равностепенно непрерывные нормы, т. е. если

       

      lim

      sup

      eE = 0. (2)

      1

       

      e[0,1](e)0 xBH

      }i=1

       

      С. п. E удовлетворяет нижней p-оценке с константой M , если для всякой последовательности попарно дизъюнктных функций {xi n из E выполняется

      n n

      M xi (

      image

      1

       

      p ) p

       

      i=1

      .

      E

       

      i=1

      xiE .

       

  2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть E — симметричное пространство и H E — подпространство. Рассмотрим сле- дующие 3 условия:

  1. ηE (H) < 1;

  2. существует ε > 0 такое, что H ME,ε;

  3. существует δ > 0 такое, что H RE, где

RE,δ = {x E : F [0, 1] : µ(F ) 1 δ выполнено: F E δxE}.

Тогда (ii) ⇐⇒ (iii), (i) (ii). Более того, если E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < , то (ii) (i).

Доказательство. Покажем справедливость импликации (ii) (iii). Пусть H ME,ε, то есть для всякого x H мера µ(Q1) ε, где

Q1 := {t : |x(t)| εx∥}.

В данной теореме мы работаем только с нормой с. п. E, поэтому индекс у нормы опускаем.

image

image

Пусть F [0, 1] и µ(F ) 1 ε . Заметим, что µ(Q1 F ) ε . Таким образом, если x H, то

2 2

image

2 ]

 

F(F Q1 )εx∥∥χ(F Q1 )εχ[0, ε ∥∥x.

Отсюда x RE, где δ := min( ε , εχ[0, ε ). Следовательно, H R .

image

image

2 2 ]

E,δ

Докажем обратную импликацию (iii) (ii). Предположим, что (ii) не выполняется, т. е.

image

image

)

 

2

 

2

 

ε > 0, x H : µ(t [0, 1] : |x(t)| εx< ε .

Обозначим

 

image

2

 

Тогда µ([0, 1] \ Q2) > 1 ε

 

Отсюда

 

ε

image

Q2 := {t [0, 1] : |x(t)| 2 x∥}.

и для каждого t [0, 1] \ Q2

ε

image

|x(t)| < 2 x.

ε

image

[0,1]\Q22x∥∥χ[0,1]\Q2< εx,

т. е. x / RE. Так как x H и ε произвольно, то получено противоречие с условием (iii).

Импликация (i) (ii) хорошо известна [3], для удобства читателя приведём доказательство. Пусть

H не содержится в ME,ε для любого ε > 0, т. е. для произвольного ε > 0 существует x H такое, что

µ(Q1) < ε. Из этого условия получим следующую оценку:

 

xχ[0]xχ[0(Q1 )]Q1x∥ − ∥[0,1]\Q1

x∥ − εx∥∥χ[0,1](1 ε)x.

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

28Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

 

Отсюда

[0]

 

xχ

image

ηE (H) lim

lim(1 ε) = 1,

 

и импликация доказана.

ε0

x

ε0

Предположим, что E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < . Покажем, что тогда из (ii) следует (i). Если (i) не выполняется, то существует ε > 0 такое, что H ME,ε и

n=1

 

ηE (H) = 1. Отсюда, по определению характеристики ηE (H) существуют последовательности {xn} ,

xn= 1, {δn}

, δn 0 такие, что

n=1

n

 

x χ

 

(0n )

1

image

1 n.

image

2

 

Пусть δn ε . В силу условия H ME,ε имеем

n

 

x χ

 

(δn ,1)

n

 

x χ

 

image

2

 

( ε )

" εχ

image

2

 

(0, ε ).

image

2

 

Так как пространство удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1, то в силу полученных выше неравенств, при δn ε ,

n

 

1 = x

(

n

 

x χ

 

p

(0n )

n

 

+ x

 

χ(δn ,1)

image

1

 

p) p

( 1 p

image

(1 n )

+ εpχ

 

image

2

 

(0, ε )

image

1

 

p) p

,

что невозможно, так как при достаточно большом n правая часть последнего неравенства строго боль- ше 1.

В связи с доказанной теоремой введём

Определение 3. Симметричное пространство имеет η-нормальную структуру, если ηE (H) < 1 для всякого сильно вложенного подпространства H E.

2

 

В [3] показано, что пространство Орлича с нормой Люксембурга при ϕ

имеет η-нормальную

структуру. Приведем другое (более короткое) доказательство этого результата в случае, когда ϕ 2.

Следствие 1. Пусть ϕ — функция Орлича, ϕ 2 и (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) — пространство Орлича с нормой Люксембурга. Тогда (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) имеет η-нормальную структуру.

Доказательство. Покажем, что для некоторого конечного p пространство (Lϕ, ∥· ∥ϕ) с нормой Люк-

сембурга удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1. Для этого достаточно в силу [10, следствие 3.4] показать, что отношение ϕ(t)/tp при t → ∞ убывает. Действительно, пусть 0 < s < t и

r := log2 K,

где K — константа из 2-условия. Если t [2m1s, 2ms] для некоторого m 2, то, применяя неравенство из 2-условия m раз, получим

 

Отсюда

ϕ(t)

tr K

m ϕ(s)

tr K

m ϕ(s)

2r(m1)sr = K

ϕ(s) sr .

ϕ(t)

( t )r

( t )2r = ( t )2 log2 K.

image

image

image

image

ϕ(s) K s s s

image

s

 

Если же t (s, 2s), то t = (1 θ)s + θ · 2s, где θ := t 1 и тогда

ϕ(t) (1 θ)ϕ(s) + θϕ(2s) (1 θ + )ϕ(s),

откуда, так как K 2, по неравенству Бернулли,

ϕ(t)

ϕ(s) 1 + (K 1)θ (1 + θ)

K1

= ( t )K1.

s

Следовательно, отношение ϕ(t)/tp убывает, если p = max(2 log2 K; K1). Для завершения доказательства осталось лишь воспользоваться теоремой 1.

С помощью аналогичных рассуждений этот результат можно доказать для нормы Орлича.

Следствие 2. Пусть ϕ — функция Орлича, такая, что ϕ 2 и сопряжённая функция ψ 2.

0

 

Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) с нормой Орлича имеет η-нормальную структуру.

ϕ

 

Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно показать, что для некоторого конечного p простран- ство (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.

Так как функция ϕ 2, то существует такое конечное p > 1, что отношение ϕ(t)/tp, при t → ∞,

убывает. Заметим, что отношение ϕ(t)/tp убывает тогда и только тогда, когда ϕ(t1/p)/t убывает (ана- логично для возрастания). Покажем, что ψ(s1/q )/s возрастает, где 1/p + 1/q = 1. Действительно, по

определению

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 29

 

ψ(s1/q )

image

=

image

t

 

1 sup (ts1/q ϕ(t)) = [

:= (sv)1/p] = sup (v(v1/q

image

ϕ((sv)1/p)

)).

s s t0

v0 sv

Отсюда видно, что ψ(s1/q )/s возрастает, следовательно, и ψ(s)/sq возрастает. Согласно [10, след- ствие 3.4] пространство (Lψ, ∥ · ∥ψ ) с нормой Люксембурга удовлетворяет верхней q-оценке с констан-

той 1.

По [11, предложение 1.f.5], если с. п. E удовлетворяет верхней q-оценке с константой M , то сопря- жённое пространство E удовлетворяет нижней p-оценке с константой M . По условию ψ 2, а значит,

ϕ

 

(Lψ, ∥ · ∥ψ ) = (Lϕ, ∥ · ∥0 ),

ϕ

 

см. [5, теорема 9.1]. Таким образом, (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.

В [4, предложение 3] показано, что для произвольного с. п. (E, ∥·∥E ) норма |||x||| := xE +xL1 экви- валентна исходной норме xE и пространство (E, |||·|||) имеет η-нормальную структуру. Иными словами,

всякое с. п. можно эквивалентно перенормировать так, чтобы в новой норме оно имело η-нормальную структуру.

С другой стороны, несепарабельное пространство, у которого индексы Бойда удовлетворяют условию 0 < αE βE < 1/2, при соответствующей перенормировке не имеет η-нормальной структуры [4, теоре- ма 3].

Определение 4. Симметричное пространство E называется бинарным, если характеристика ηE (H)

принимает лишь два значения, 0 и 1.

Теорема 2. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) имеет η-нормальную структуру и бинарно. Тогда пространство (E, ∥ · ∥E ) сохраняет η-нормальную структуру при любой эквивалентной перенорми-

ровке.

Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная норме ∥ · ∥E , и H — сильно вложенное под- пространство (E, ∥ · ∥1). Так как нормы эквивалентны, то H будет также сильно вложенным подпро- странством пространства (E, ∥ · ∥E ). Отсюда, применяя условия теоремы, получаем

η(E,∥·∥E )(H) = 0.

1

 

Напомним, что ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH имеет равностепенно непрерывные нормы (см. (2)). Но равенство (2) инвариантно относительно перенормировок, и, значит, оно имеет место и

для (E, ∥ · ∥1). Тогда

 

и теорема доказана.

η(E,∥·∥1 )(H) = 0,

В частности, условиям последней теоремы, удовлетворяют пространства Lp, p [1, 2). Действительно,

они бинарны [3, теорема III.2] и по следствию 1 имеют η-нормальную структуру. Следующий результат

показывает, что с. п., в некотором смысле ”близкие ”к L1, бинарны. Более точно, если в с. п. верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности (такие с. п. в [12] охарактеризованы как пространства с (Wm)-свойством), то оно будет бинарным.

Определение 5 [12]. Говорят, что симметричное пространство E на [0, 1] имеет (Wm) - свойство (E (Wm)), если из слабой сходимости и сходимости по мере следует сходимость по норме, т. е., если

w µ

n=1

 

из условий {xn}

Теорема 3.

E, xn0 и xn0 следует: xnE0.

симметричное пространство E (Wm), то E — бинарное пространство.

Если

Доказательство.

 

Пространство

L1 (Wm) [12, теорема 5.5] и [8, теорема 5.2.9] и, как было сказано

выше, бинарно. Пусть теперь

E ̸= L1, H E — подпространство и ηE (H) < 1, и, значит, нормы L1 и

E эквивалентны

на H. Легко видеть, что для любого τ [0, 1] отображение

 

x(t)

1

x(t)χ[0](t)dt,

0

где x(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), порождает линейный ограниченный функционал на E. Используя этот факт и эквивалентность норм на H, получим

 

ηL1 (H) = lim sup

τ0 xH

 

xχ[0]L1

image

xL1

 

= lim sup

τ0 xH

1

x(t)χ[0](t)dt

0

xL1

image

 

lim sup x Eχ[0]E

C lim

χ[0]E .

τ0 xH

xL1

τ0

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

30Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

 

τ0 [0] E L1 1

 

Так как E ̸= L1, то E ̸= L , откуда lim χ = 0 и η (H) = 0. Отсюда шар BH имеет равносте-

1

 

пенно непрерывные нормы в L1, и по теореме Данфорда — Петтиса [8, теорема 5.2.9] BH

относительно

слабо компактно в L1, что равносильно рефлексивности подпространства.

Рассмотрим тождественный оператор I : E L1 (всякое с. п. вложено в L1 (см. § 2), и поэтому опе- ратор задан корректно). На основании эквивалентности норм E и L1 на H сужение I|H — изоморфизм.

Как известно из курса функционального анализа, нормированное пространство, изоморфное рефлексив-

1

 

ному пространству, рефлексивно. Тогда H рефлексивно в E, и BH

относительно слабо компактно в H

по норме E. Так как E (Wm), то в E выполняется аналог критерия Данфорда — Петтиса [12], и,

1

 

значит, BH

имеет равностепенно непрерывные нормы в E, откуда ηE (H) = 0.

Следствие 3. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) (Wm). Тогда E имеет η-нормальную

структуру.

Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная ∥ · ∥E , и такая, что с. п. (E, ∥ · ∥1) имеет

η-нормальную структуру (см. рассуждения после следствия 2). Заметим, что (Wm)-свойство сохраняется при эквивалентной перенормировке, поэтому с. п. (E, ∥ · ∥1) (Wm), и, следовательно, оно бинарно. Тогда (E, ∥ · ∥1) удовлетворяет условиям теоремы 2 и, значит, с. п. (E, ∥ · ∥E ) обладает η-нормальной

структурой.

Следствие 4. Пусть функция Орлича ϕ такая, что для сопряженной функции ψ выполняется:

 

 

lim

t→∞

ψ(Ct)

 

image

ψ(t)

= (3)

для некоторого C > 0. Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) бинарно.

Доказательство. Если ϕ удовлетворяет условию теоремы, то Lϕ с нормой Люксембурга имеет свой- ство (Wm) [12, предложение 5.8], а все с. п. со свойством (Wm) бинарны.

Функции Орлича, удовлетворяющие условию последнего следствия, изучались в работах [12–14].

2

 

Если для функции Орлича ψ выполняется (3), то ψ /

(и, очевидно, ψ / 2), но, как легко

ϕ

 

показать, (Lϕ, ∥·∥0 )

будет иметь η-нормальную структуру. Это замечание несколько усиливает следствие

ψ 2 не является необходимым в этом следствии. Стоит

2

 

2, так как оно показывает, что условие отметить, что существуют функции ψ /

 

и не удовлетворяющие (3) [14, теорема 4].

 

×

About the authors

S. I. Strakhov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: www.stepan121@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2905-9124

postgraduate student of the Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation

References

  1. Kadec M.I., Pelczy_nski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Mathematica, 21 (1962), pp. 161–176. DOI: https://doi.org/10.4064/SM-21-2-161-176.
  2. Tokarev E.V. Subspaces of symmetric spaces of functions. Functional Analysis and Its Applications, 1979, vol. 13, pp. 152–153. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077255. (English; Russian original)
  3. Novikov S.Ya. Geometric properties of symmetric spaces: Candidate’s of Physical and Mathematical Sciences thesis. Voronezh, 1980. (In Russ.)
  4. Astashkin S.V., Semenov E.M. On a Property of Rearrangement Invariant Spaces whose Second Kothe Dual is Nonseparable. Mathematical Notes, 2020, vol. 107, pp. 10–19. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434620010022 (English; Russian original)
  5. Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation. Seminars in Mathematics 5, University of Campinas, Campinas, 1989.
  6. Krasnoselskii M.A., Rutitskii Ya.B. Convex functions and Orlicz spaces (Modern problems of Mathematics). Moscow: Fizmatgiz, 1958. Available at: https://knigogid.ru/books/1888340-vypuklye-funkcii-i-prostranstva-orlicha/toread. (In Russ.)
  7. Harjulehto P., Hasto P. Orlicz spaces and Generalized Orlicz spaces. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019. 169 p. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-030-15100-3
  8. Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 233. New York: Springer, 2006. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-31557-7.
  9. Astashkin S.V., Strakhov S.I. On Symmetric Spaces With Convergence in Measure on Reflexive Subspaces. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, pp. 1–8. DOI: http://doi.org/10.3103/S1066369X18080017 (English; Russian original)
  10. Hao C., Kaminska A., Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, vol. 320, issue 1, pp. 303-–321. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.078.
  11. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces, II. Function spaces. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979. Available at: https://books.google.ru/books?id=yPPrCAAAQBAJ&hl=ru&source=gbs_similarbooks.
  12. Astashkin S.V., Kalton N.J., Sukochev F.A. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces. Positivity, 2008, vol. 12, pp. 387-–406. DOI: http://doi.org/10.1007/S11117-007-2146-Y.
  13. Le_snik K., Maligranda L., Tomaszewski J. Weakly compact sets and weakly compact pointwise multipliers in Banach function lattices. Available at: https://arxiv.org/pdf/1912.08164.pdf.
  14. Astashkin S.V., Strakhov S.I. On Disjointly Homogeneous Orlicz–Lorentz Spaces. Mathematical Notes, 2020, vol. 108, issue 5, pp. 631—642. DOI: http://doi.org/10.1134/S0001434620110012. (English; Russian original)

Copyright (c) 2022 Strakhov S.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies