CRITICAL TRAVELLING WAVES IN ONE MODEL OF THE ”REACTION-DIFFUSION” TYPE


Cite item

Abstract

The paper is devoted to the order reduction for critical traveling wave problems for a reaction-diffusion type systems. The mathematical apparatus is based on the geometric theory of singular perturbations and the canards technique. The use of the method of invariant manifolds of singularly perturbed systems allows us to replace the study of traveling waves of the original PDE system by analyzing their profiles in a ODE system of a lower order.

Full Text

  1. Введение

    В статье обсуждается, как геометрическая теория сингулярных возмущений и метод инвариантных многообразий [1–10] могут быть использованы для понижения размерности задач о бегущих волнах с сингулярными возмущениями. Такой подход позволяет исследовать критические бегущие волны [11–15]. Специфика таких бегущих волн состоит в том, что они разделяют волны с качественно различным поведением. В качестве иллюстрации рассматривается класс систем типа ”реакция–диффузия”.

    Рассмотрим систему типа ”реакция–диффузия” с одной пространственной переменной. В безразмер- ном виде модель описывается следующими уравнениями:

    ∂x ∂2x

    image

    image

    ∂t = ε ∂s2

     

    + f (x, y),

     

    (1)

     

    где

    ∂y ε ∂2y

    image

    image

    ∂t = k ∂s2

    + g(x, y),

    f (x, y) =

    image

    α(ν0 + xγ ) 1 + xγ

    x(1 + y),

    g(x, y) = x(β + y) δy,

    x и y – безразмерные концентрации реагентов, β > 1 и γ > 1 [16].

     

    1. Понижение размерности

      Если для системы (1) решение типа бегущей волны существует, то оно может быть записано в форме

       

      x(s, t) = φ(s ct) = φ(ξ),

       

      где c – скорость волны.

      y(s, t) = ψ(s ct) = ψ(ξ),

      (2)

      Из соотношений (1) и (2) получаем

       

       

      d2φ

       

      α(ν0 + φγ )

      image

      c = ε 2 +

      image

      1 + φγ φ(1 + ψ),

      image

      c =

      o d2ψ

      image

      k2 + φ(β + ψ) kδψ.

      Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L., Wang J. Критические бегущие волны в одной модели ...

      18Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L., Wang J. Critical travelling waves in one model ...

       

      Последнюю систему уравнений удобно переписать в форме

      image

      = p,

      image

      = q,

      dp

      o = cp

      dq

       

      image

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

       

      (3)

      image

      ε = ckq (β + ψ) + kδψ.

      Соответствующая вырожденная система (ε = 0) имеет вид

      image

      = p,

      image

      = q,

       

      α(ν0 + φγ )

       

      (4)

      0 = cp

      image

      1 + φγ + φ(1 + ψ) := h1,

      0 = ckq (β + ψ) + kδψ := h2.

      Последние два уравнения системы (4) имеют единственное решение

      α(ν0 + φγ ) 1

      image

      p = P0(φ, ψ) = c(1 + φγ ) + c φ(1 + ψ),

       

      (5)

      1 δ

      image

      image

      q = Q0(φ, ψ) = c φ(β + ψ) + c ψ,

      которое определяет медленную поверхность системы (3). Медленная поверхность является устойчивой или притягивающей [10], так как

       

      где

      trB(φ, ψ) < 0, detB(φ, ψ) > 0,

      B =

      ∂h1

      ∂p

      ∂h2

      ∂p

      ∂h1

      ∂q

      ∂h2

      ∂q

       

      = ( c 0 ) .

      0 ck

      В соответствии с геометрической теорией сингулярных возмущений в ε-окрестности медленной поверх- ности существует устойчивое (притягивающее) инвариантное многообразие, которое можно представить в форме

      p = P (φ, ψ, ε) = P0(φ, ψ) + εP1(φ, ψ) + O(ε2),

      q = Q(φ, ψ, ε) = Q0(φ, ψ) + εQ1(φ, ψ) + O(ε2).

      (6)

      Первые приближения функций P и Q, которые описывают медленное инвариантное многообразие, можно найти путем подстановки (6) в уравнения инвариантности

      ( ∂P

      o P +

      ∂φ

      ( ∂Q

      ∂P )

      Q

      ∂ψ

      ∂Q )

      = cP

      image

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

      image

      image

      o P + Q

      ∂φ ∂ψ

      = ckQ (β + ψ) + kδψ,

      которые следуют из (3). Таким образом, с учетом (6) имеем

      ( ∂P0

      ε

      ∂φ

       

      P0 +

      ∂P0 )

      Q0

      ∂ψ

      + O(ε2) = c (P0 + εP1 + O(ε2))

      image

      α(ν0 + φγ ) 1 + φγ

       

      + φ(1 + ψ),

      ( ∂Q0

      ε

      ∂φ

       

      P0 +

      ∂Q0 )

      Q0

      ∂ψ

      + O(ε2) = ck (Q0 + εQ1 + O(ε2)) (β + ψ) + kδψ.

      Приравнивая коэффициенты при первой степени ε в этих уравнениях, с учетом (5) получаем

      1 [( αγφγ1(1 ν0)

      ) ( α(ν0 + φγ ) ) 2 ]

      image

      P1(φ, ψ) = c2

      1

      image

      (1 + φγ )2 1 ψ

      [ ( α(ν0 + φγ )

      1 + φγ φ(1 + ψ)

      )

      φ (β + ψ) + δφψ ,

      ]

      Q1(φ, ψ) = c2k

      (β + ψ)

      image

      1 + φγ φ(1 + ψ)

      + (φ δ)(φ(β + ψ) δφ) .

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 16–24

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 16–24 19

       

      Таким образом, медленные движения системы (3) описываются уравнениями

      =

      image

      α(ν0 + φγ ) c(1 + φγ ) +

      1

      c φ(1 + ψ)

      ε [( αγφγ1(1 ν0)

      ) ( α(ν0 + φγ ) ) 2 ] 2

      image

      c2

      1

      image

      (1 + φγ )2 1 ψ

      δ

      1 + φγ φ(1 + ψ)

      φ (β + ψ) + δφψ

      + O(ε ),

      (7)

      image

      image

      = c

      φ(β + ψ) +

      image

      c ψ

      ε

      c2k

      [

      (β + ψ)

      ( α(ν0 + φγ ) )

      image

      1 + φγ φ(1 + ψ)

      ]

      + (φ δ)(φ(β + ψ) δφ)

      + O(ε2).

      Основные преимущества системы (7) по отношению к (3) заключаются в том, что она не имеет сингулярных возмущений и ее порядок ниже.

       

    2. Критические бегущие волны

    Заметим, что особые точки рассматриваемой системы определяются уравнениями f (x, y) =

    = 0, g(x, y) = 0.

    Рассмотрим (3) при следующих значениях параметров: α = 12, β = 1.5, γ = 3, δ = 1.7 и ν0 =

    = 0.01. Система (4) имеет три положения равновесия: неустойчивый узел P1, седло P2, и неустойчивый

    фокус P3 (рис. 1). Эти положения равновесия являются проекциями положений равновесия

    P˜3 системы (3) на плоскость (φ, ψ).

    P˜1,

    P˜2, и

    Добавляя к (4) соответствующие асимптотические граничные условия, мы можем получить траекто- рию, соединяющую положение равновесия P1 и ω-периодическую орбиту, которая возникает в результате бифуркации Андронова около P3 (рис. 2 и 3). Более того, система (3) имеет решение, стремящееся к

    неустойчивому положению равновесия P˜1 при ξ → −∞ и к устойчивому ω(ε)-периодическому решению

    при ξ +, где ω(ε) ω при ε 0. Это решение определяет профиль точечно-периодических бегущих волн типа ”точка-цикл” системы (1). Доказательства существования ω-периодической орбиты вблизи точ- ки P3, а также периодической бегущей волны типа ”точка-цикл” проводятся аналогично тому, как это делается в работах [17–26].

     

    image

    image

    g = 0

     

     

    P3

     

    ψ ψ

    f = 0

     

    P1

    P2

    image

    image

    ϕ ϕ

     

    Рис. 1. Нуль-кривые и положения равновесия системы (4)

    Fig. 1. Zero curves and positions of the equilibrium of systems (4)

    Рис. 2. Траектория, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4)

    Fig. 2. Trajectory connecting the equilibrium position and the cycle of the system (4)

     

    Следует отметить, что траектория, показанная на рис. 2, является траекторией-уткой [27–30]. Такие траектории используются для моделирования критических явлений [10; 12; 31; 32]. Они играют роль промежуточных форм между траекториями, соответствующими колебаниям с пренебрежимо малыми

    Соболев В.А., Тропкина Е.А., Щепакина Е.А., Zhang L., Wang J. Критические бегущие волны в одной модели ...

    20Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L., Wang J. Critical travelling waves in one model ...

     

    image

    image

    ψ

    ϕ, ψ

     

     

    ξ

    Рис. 3. Графики функций φ = φ(ξ) (сплош- ная линия) и ψ = ψ(ξ) (пунктирная ли- ния) для траектории, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4)

    Fig. 3. Graphs of functions φ = φ(ξ) (solid line) and ψ = ψ(ξ) (dashed line) for the trajectory connecting the equilibrium position and cycle of the system (4)

     

    image

    ϕ

     

    Рис. 4. Траектория, соединяющая положе- ние равновесия и цикл системы (4) (пунк- тирная линия), (7) (штрих-пунктирная ли- ния), (φ, ψ)–проекция соответствующей тра- ектории (3) (сплошная линия)

    Fig. 4. Trajectory connecting the positions of the equilibrium and the cycle of system

  2. (point dashed line), (7) (dash-dot line (φ, ψ) is the projection of the corresponding trajectory (3) (solid line)

 

амплитудами, и траекториями с релаксационными колебаниями. Бегущие волны с профилем траекто- рий-уток являются критическими, так как разделяют бегущие волны с качественно различным поведе- нием.

На рис. 4 показаны траектории, идущие от точки к циклу системы (4) (пунктирная линия) и (7) (штрих-пунктирная линия), а также (φ, ψ)-проекция соответствующей траектории системы (3) (сплош- ная линия). Все эти траектории очень близки друг к другу, а это значит, что приведенные системы сохраняют существенные свойства качественного поведения исходной системы.

Отметим, что в этом случае при понижении размерности модели можно ограничиться нулевым при- ближением инвариантного многообразия, заменив исследование системы (3) анализом системы (4). Одна- ко во многих случаях, чтобы адекватно отразить поведение исходных моделей, необходимо использовать приближение первого или более высоких порядков для инвариантного многообразия [33].

Выводы

В статье обсуждается применение геометрической теории сингулярных возмущений и техники тра- екторий-уток для исследования задач о критических с бегущих волнах. На примере системы типа ”ре- акция–диффузия” мы показываем, как задача о бегущих волнах для исходной системы нелинейных параболических уравнений сводится к изучению проекции этой системы на ее медленное инвариантное многообразие. Анализ редуцированной системы позволил найти критические бегущие волны исходной системы. Такие волны играют роль промежуточных форм между волнами с принципиально различным качественным поведением.

 

×

About the authors

V. A. Sobolev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: v.sobolev@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-7327-7340

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Tropkina

Samara National Research University

Email: elena_a.85@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5970-6740

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

E. A. Shchepakina

Samara National Research University

Email: shchepakina@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0002-2898-2865

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department
of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation

Lijun Zhang

Shandong University of Science and Technology

Email: li-jun0608@163.com
ORCID iD: 0000-0001-5697-4611
Taiwan, Province of China, 579, Quinwangang Road, Huangdao District, Qingdao, Shandong Province, 266590, P.R. China.

Jundong Wang

Shandong University of Science and Technology

Email: jd_w@qq.com
ORCID iD: 0000-0002-7551-540X
Taiwan, Province of China, 579, Quinwangang Road, Huangdao District, Qingdao, Shandong Province, 266590, P.R. China.

References

  1. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotic methods in the theory of nonlinear oscillations. Moscow: Nauka, 1974, 503 p. Available at: http://physics.gov.az/book_A/Mitropolski.pdf. (In Russ.)
  2. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Method of integral manifolds in nonlinear mechanics. Kyiv: Naukova Dumka, 1961. Available at: https://booksee.org/book/789024. (In Russ.)
  3. Hale J. Integral manifolds of perturbed differential systems. Annals of Mathematics. Second Series, 1961, vol. 73, no. 3, pp. 496–531. DOI: http://doi.org/10.2307/1970314.
  4. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations. Journal of Differential Equations, 1979, vol. 31, pp. 53–98. DOI: http://doi.org/10.1016/0022-0396(79)90152-9.
  5. Henry D. Geometrical Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer, 1981, vol. 804. DOI: http://doi.org/10.1007/BFb0089647.
  6. Sobolev V.A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed systems. Systems and Control Letters, 1984, vol. 5, issue 3, pp. 169–179. DOI: http://doi.org/10.1016/S0167-6911(84)80099-7.
  7. Jones C.K.R.T. Geometric Singular Perturbation Theory. In: Johnson R. (Ed.) Dynamical Systems, Montecatini Terme, Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1994, vol. 1609, pp. 44-–118. DOI: http://doi.org/10.1007/BFB0095239.
  8. Mishchenko E.F., Rozov N.Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. Moscow: Nauka, 1975, 248 p. Available at: https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/MishchenkoRozov1975ru.pdf. (In Russ.)
  9. Mishchenko E.F., Kolesov Yu.S., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Periodic motions and bifurcation processes in singularly perturbed systems. Moscow: Nauka, 1995, 336 p. Available at: https://booksee.org/book/483850. (In Russ.)
  10. Shchepakina E., Sobolev V., Mortell M.P. Singular Perturbations. Introduction to system order reduction methods with applications. Lecture Notes in Mathematics. Berlin–Heidelberg–London: Springer, 2014, vol. 2114. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-09570-7.
  11. Schneider K., Shchepakina E., Sobolev V. A new type of travelling wave solutions. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2003, vol. 26, issue 16, pp. 1349–1361. DOI: http://doi.org/10.1002/mma.404.
  12. Shchepakina E., Sobolev V. Black Swans and Canards in Laser and Combustion Models. In: Mortelli M.P. et al. (Eds.) Singular Perturbation and Hysteresis. Philadelphia: SIAM, 2005, pp. 207—255. DOI: http://doi.org/10.1137/1.9780898717860.CH8.
  13. Mishchenko E.F., Sadovnichii V.A., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Autowave processes in nonlinear diffusive media. Moscow: Fizmatlit, 2010, 395 p. Available at: https://booksee.org/book/1471914. (In Russ.)
  14. Shchepakina E. Canard Traveling Waves in a Reaction-Diffusion Model. Proceedings of ITNT 2020 - 6th IEEE International Conference on Information Technology and Nanotechnology, 2020, p. 9253177. DOI: http://doi.org/2020.10.1109/ITNT49337.2020.9253177.
  15. Shchepakina E., Tropkina E. Order reduction for problems with traveling wave solutions to reaction-diffusion systems. Journal of Physics: Conference Series, 2021, vol. 1745, Issue 1, p. 012109. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1745/1/012109.
  16. Sevˇcikova H., Kubiˇcek M., Marek M. Concentration waves — effects of an electric field. In: Avula X.J.R., Kalman R.E., Liapis A.I., Rodin E.Y. (Eds.) Mathematical Modelling in Science and Technology. New York: Pergamon Press, 1984, pp. 477–482. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-08-030156-3.50091-6.
  17. Dunbar S.R. Traveling wave in diffusive predator-prey equations: Periodic orbits and point–to–periodic heteroclinic orbits. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1986, vol. 46, pp. 1057–1078. DOI: http://doi.org/10.1137/0146063.
  18. Huang W. Traveling waves connecting equilibrium and periodic orbit for reaction-diffusion equations with time delay and nonlocal response. Journal of Differential Equations, 2008, vol. 244, pp. 1230–1254. DOI: http://doi.org/10.1016/j.jde.2007.10.001.
  19. Huang Y., Weng P. Periodic traveling wave train and point–to–periodic traveling wave for a diffusive predator-preysystem with Ivlev–type functional response. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, vol. 417, pp. 376–393. DOI: http://doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.03.042.
  20. Liang D., Weng P.X., Wu J.H. Travelling wave solutions in a delayed predator-prey diffusion PDE system: point–to–periodic and point–to–point waves. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol. 77, pp. 516–545. DOI: http://doi.org/10.1093/IMAMAT%2FHXR031.
  21. Duehring D., Huang W. Periodic traveling waves for diffusion equations with time delayed and non–local responding reaction. Journal of Dynamics and Differential Equations, 2007, vol. 19, pp. 457–477. DOI: http://doi.org/10.1007/S10884-006-9048-8.
  22. Hasik K., Trofimchuk S. Slowly oscillating wavefronts of the KPP–Fisher delayed equation. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2014, vol. 34, pp. 3511–3533. DOI: http://doi.org/10.3934/dcds.2014.34.3511.
  23. Hasik K., Kopfova J., Nabelkova P., Trofimchuk S. Traveling waves in the nonlocal KPP–Fisher equation: Different roles of the right and the left interactions. Journal of Differential Equations, 2016, vol. 260, pp. 6130–6175. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2015.12.035.
  24. Zhang, L., Wang, J., Shchepakina, E., Sobolev V. New type of solitary wave solution with coexisting crest and trough for a perturbed wave equation. Nonlinear Dynamics, 2021, vol. 106, pp. 3479-–3493. DOI: http://doi.org/10.1007/s11071-021-06975-2.
  25. Merkin J.H., Poole A.J., Scott S.K. Chemical wave responses to periodic stimuli in vulnerable excitable media. Journal of the Chemical Society, Faraday Transactions, 1997, vol. 93, no. 9, pp. 1741–1745. DOI: http://dx.doi.org/10.1039/A608416H.
  26. Bordiougov G., Engel H. From trigger to phase waves and back again. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2006, vol. 215, pp. 25–37. DOI: http://doi.org/10.1016/j.physd.2006.01.005.
  27. Diener M. Nessie et Les Canards. Strasbourg: Publication IRMA, 1979.
  28. Benoit E., Callot J.L., Diener F., Diener M. Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 1981–1982, vol. 31–32, pp. 37–119. Available at: https://www.researchgate.net/publication/265548510_Chasse_au_canard.
  29. Arnold V.I., Afraimovich V.S., Il’yashenko Yu.S., Shil’nikov L.P. Theory of Bifurcations Dynamical Systems. In: Encyclopedia of Mathematical Sciences. New York: Springer-Verlag, 1994, vol. 5.
  30. Eckhaus M.W. Asymptotic Analysis of Singular Perturbations. Studies in Mathematics and Its Applications. Amsterdam–New York: North-Holland Publ Co, 1979. DOI: http://doi.org/10.1016/s0168-2024%2808%29x7001-8.
  31. Gorelov G.N., Sobolev V.A. Mathematical modelling of critical phenomena in thermal explosion theory. Combustion and Flame, 1991, vol. 87, pp. 203–210. DOI: http://doi.org/10.1016/0010-2180(91)90170-G.
  32. Gorelov G.N., Sobolev V.A. Duck–trajectories in a thermal explosion problem. Applied Mathematics Letters, 1992, vol. 5, no. 6, pp. 3–6. DOI: http://doi.org/10.1016/0893-9659(92)90002-Q.
  33. Korobeinikov A., Shchepakina E., Sobolev V. Paradox of enrichment and system order reduction: bacteriophages dynamics as case study. Mathematical Medicine and Biology, 2016, vol. 33, no. 3, pp. 359–369. DOI: http://doi.org/10.1093/imammb/dqv025.

Copyright (c) 2022 Sobolev V.A., Tropkina E.A., Shchepakina E.A., Zhang L., Wang J.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies