К ВОПРОСУ О ДРОБНОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ

С. О. Гладков, С. Б. Богданова

Аннотация


Благодаря операции дробного дифференцирования, вводимой с помощью интеграла Фурье, при- ведены результаты вычисления дробных производных для некоторых типов элементарных функций. С помощью метода численного интегрирования вычислены значения дробных производных для про- извольной размерности ε, где ε — любое число больше нуля. Доказано, что при целых значениях ε получаются обычные производные первого, второго и т. д. порядков. В качестве примера рассмотре- но уравнение теплопроводности Фурье, пространственное дифференцирование в котором осуществ- ляется с помощью производных дробного порядка. Приведено его решение через интеграл Фурье и показано, что в частном случае целого ε решение переходит в известные результаты, получаемые в n-мерном случае, где n = 1, 2 . . . и т. д.


Ключ. слова


дробное дифференцирование, интеграл Фурье, интеграл Римана, теплопро- водность, фрактал, дробная размерность, уравнение Фурье, мера.

Полный текст:

PDF

Список литературы

[1] Гладков С.О. К теории гидродинамических явлений в квазиодномерных системах // ЖТФ. 2001. Т. 71.
№ 11. С. 130–132. URL: https://journals.ioffe.ru/articles/38956.
[2] Гладков С.О. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности // ЖТФ. 1997. Т. 67. № 7.
С. 8–12. URL: https://journals.ioffe.ru/articles/33167.




[3] Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск.: РХД, 2002. 665 с. [4] Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 524 с.
[5] Синергетика и фракталы в материаловедении / В.С. Иванова [и др.]. М.: Наука, 1994. 383 с. [6] Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск.: РХД, 2001. 528 с.
[7] Гладков С.О., Богданова С.Б. К теории продольной магнитной восприимчивости квазитрехмерных ферро- магнитных диэлектриков // ФТТ. 2012. Т. 54. № 1. C. 70–73. URL: https://journals.ioffe.ru/articles/482.
[8] Гладков С.О., Богданова С.Б. К вопросу о магнитной восприимчивости фрактальных фер- ромагнитных проволок // Известия вузов. Физика. 2014. Т. 57. № 4. C. 44–47. URL: http://i.uran.ru/webcab/system/files/journalspdf/izvestiya-vuzov.ser.fizika/izvestiya-vuzov.ser.fizika-2014-t.57-n-4/ 42014.pdf.
[9] Bagley R.L., Torvik P.J. A Theoretical Basis for the Application of Fractional Calculus to Viscoelasticity // Journal of Rheology. 1983. Vol. 27(201). P. 201–210. DOI: 10.1122/1.549724.
[10] On the fractional calculus model of viscoelastic behavior/ R. L. Bagley, P. J. Torvik // Journal of Rheology.
1986. Vol. 30 (1). P. 133–155. DOI: 10.1122/1.549887.
[11] Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 4. C.660–670.
URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=de&paperid=7144&option_lang=rus.
[12] Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Тео- ретическая и математическая физика. 1992. Т. 90. № 3. C. 354–368. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=5547&option_lang=rus.
[13] Нахушев А.М. Структурные и качественные свойства оператора, обратного оператору дробного инте- гро–дифференцирования с фиксированным началом и концом // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36.
№ 8. C. 1093–1100. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02754189.
[14] Самко С.Г., Килбас А.А, Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их при- ложения. Минск.: Наука и техника, 1987. 688 с.
[15] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
[16] Gladkov S.O., Bogdanova S.B. The heat-transfer theory for quasi-n-dimensional system // Physica B: Condensed Matter. 2010. Vol. 405. P. 1973–1975.


DOI: http://dx.doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-7-13

Ссылки

  • Ссылки не определены.


 

Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.

 

ISSN: 2541-7525