КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА — БИЦАДЗЕ

С. А. Алдашев

Аннотация


Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерным волновым уравнением. Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа. Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления исследуемых краевых задач. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений, где показана однозначная разрешимость этой задачи, существенно зависящая от высоты рассматриваемой всей цилиндрической области. В данной работе исследована задача типа Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе и получен явный вид ее классического решение. При этом однозначная разрешимость зависит только от высоты гиперболических части цилиндрической области, а также приведен критерий единственности решения.


Ключ. слова


корректность, задачи типа Дирихле, цилиндрическая область, многомерное уравнение, критерий.

Полный текст:

PDF

Список литературы

[1] Ludwig D. Uniform asymptotic expansions at a caustic. Communications in Pure and Applied Mathematics. 1966. Vol. 19. P. 215–250.
[2] Magnanini R., Talenti G. Approaching a partial differential equation of mixed elliptic-hyperbolic type. In: Anikonov, Y., Bukhageim, A., Kabanikhin, S., Romanov,V. (eds.) Ill-posed and Inverse Problems. VSP. Utrecht. Holland. 2002. P. 263–276.
[3] Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. Wiley-Interscience. New York, 1992. 600 p.
[4] Otway T.H. Variational equations on mixed Riemannian-Lorentzian metrics // Journal of Geometric Physics. 2008. Vol. 58. P. 1043–1061.
[5] Hartle J.B., Hawking S.W. Wave function of the universe // Physical Review D. 1983. Vol. 28. P. 2960–2975.
[6] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
[7] Otway T.H. Elliptic-Hyperbolic Partial Differential Equations. Springer: Berlin, 2015. 128 p.
[8] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
[9] Нахушев А.М. О задаче Дирихле для уравнения смешанного типа // Докл. Адыг (Черкес) межд. акад. наук. 2006. T. 8. № 2. C. 32–42.
[10] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Известия НАН РК. Cер. физико-математическая. Алматы. 2014. № 3. C. 136–143.
[11] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных
гиперболо-эллиптических уравнений // Нелинейные колебания. Киев. 2013. T. 16. № 4. C. 435–451.
[12] Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Докл. РАН. 1993. T. 332. № 6. С. 696–698. T. 333. № 1. C. 16–18.
[13] Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1994. T. 30. № 11. C. 2001–2009.
[14] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.
[15] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
[16] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. T. 2. 1974. 295 с.
[17] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1966. 724 с.
[18] Aldashev S.A. The well-posedness of the Dirihlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Probl. Eng. 2010. Vol. 2010. Article ID653215-7p.
[19] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений волновым оператором // Докл. Адыг (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2011. T. 13. № 1. C. 21–29.


DOI: http://dx.doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-1-7-13

Ссылки

  • Ссылки не определены.


 

Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.

 

ISSN: 2541-7525