ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОЛСТОГО СТЕРЖНЯ

A. Б. Бейлин, Л. С. Пулькина

Аннотация


В статье рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелокальным граничным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка в прямоугольнике. Динамическое нелокальное граничное условие представляет собой соотношение, в которое помимо значений искомого решения и его производных по пространственным переменным входят производные второго порядка по переменной времени, а также интеграл от искомого решения. Эта задача может служить математической моделью процессов, связанных с продольными колебаниями толстого короткого стержня, и демонстрирует нелокальный подход к изучаемому явлению. Основной результат статьи состоит в обосновании разрешимости поставленной задачи. Доказано существование единственного обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках, методе Галеркина и свойствах пространств Соболева.


Ключ. слова


псевдогиперболическое уравнение, динамические граничные условия, продольные колебания, нелокальные условия, обобщенное решение

Полный текст:

PDF

Список литературы

[1] Re Стретт Дж.В. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1955. Т. I.
[2] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992.
[3] Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДАН. 2007. T. 417. № 1.
[4] Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными
условиями // Вестник СамГУ. 2014. № 3(114). C. 9–19.
[5] Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. // Сообщ. Харьковского мат. о-ва. 1896.
№ 5(3–4). C. 136–181.
[6] Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 2006. № 42(8). C. 1072–1077.
[7] Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 656–661.
[8] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных
гиперболических уравнений // Математический журнал института математики МО и НРК, Алматы. 2009. № 2(32). C. 78–92.
[9] Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. 2010. № 4(78), C. 56–64.
[10] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. 1963. № 21. P. 155–160.
[11] Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными услови-
ями // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1964. № 4(6). C. 1006–1024.
[12] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделир. 2000. № 12(1). C. 94–103.
[13] Bouziani A. On the solvability of a nonlocal problems arising in dynamics of moisture transfer // Georgian Mathematical Journal. 2003. № 4. P. 607–622.
[14] Avalishvili G., Avalishvili M., Gordeziani D. On integral nonlocal boundary problems for some partial differential
equations // Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences. 2011. № 5(1). P. 31–37.
[15] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. № 42(9). C. 1166–1179.
[16] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестник СамГУ. 2006. № 2(42). C. 15–27.
[17] Zdenek P. Bazant, Milan Jirasek, Nonlocal Integral Formulation of Plasticity And Damage: Survey of Progress //
American Society of Civil Engineers. Journal of Engineering Mechanics. 2002. P. 1119–1149.
[18] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода //
Изв. вузов. Математика. 2012. № 4. C. 74-–83.
[19] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. M.: Наука, 2004. 798 с.
[20] Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях. М.: URSS, 2010.
[21] Doronin G.G., Lar’kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping //
EJDE. 1998. № 28. P. 1–10.
[22] Pulkina L.S. A nonlocal problem for a pseudohyperbolic Equation // EJDE. 2014. № 116. P. 1–11.
[23] Пулькина Л.С. Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения //
Известия вузов. 2016. Т. 60. № 9. С. 42–50.
[24] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.


DOI: http://dx.doi.org/10.18287/2541-7525-2017-23-4-7-18

Ссылки

  • Ссылки не определены.


 

Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License.

 

ISSN: 2541-7525